第一单元 平面向量的概念、平面向量的运算 【一周一测能力提升专项训练】 单项选择题 1.设向量a,b,c满足5(a-2b)-4(b+3a)-c=0,则c=( ) A.-a+22b B.7a+14b C.a-22b D.-7a-14b 2.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,则与共线的向量是( ) A.+ B.- C.+ D.+ 3.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且|a-2b|=,则cos
=( ) A. B. C. D. 4.已知平面向量a,b是不共线的向量,且=a+2b,=λa-3b,=3a+2b,若B,C,D三点共线,则实数λ的值为( ) A.- B.- C. D. 5.【模块综合】已知a,b是非零向量,则“a与b是相等向量或相反向量”是“(a+b)·(a-b)=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是( ) A. B.- C. D.- 7.已知矩形ABCD中,AB=10,BC=8,=λ,=μ,其中0≤λ≤1,0≤μ≤1,||=5,P是线段MN的中点,则·取得最大值时,||=( ) A.2- B. C. D. 8.已知点O为△ABC内一点,满足+3=λ,若S△AOB=S△ABC,则λ=( ) A.-2 B.- C. D.2 多项选择题 9.若a,b,c是任意的非零向量,则下列叙述正确的是( ) A.若a=b,则|a|=|b| B.若a·b=a·c,则b=c C.|a-b|+|a-c|≤|b-c| D.(|a-b|+|a+c|)2≥4b·c 10.点M在△ABC所在平面内,下列说法正确的是( ) A.-= B.若·>0,则△ABC为锐角三角形 C.若M为△ABC内一点,且|-|=|+-2|,则△ABC为直角三角形 D.若△ABC为边长为2的正三角形,点M在线段BC上运动,则·(+)=3 11.【情境创新】折纸起源于中国,19世纪之后,折纸艺术与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具,并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始,沿对角线部分剪开成两个角,将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上,同样操作其余三个直角制作而成的,其平面图如图2,则( ) A.∥ B.·=0 C.=+ D.·=· 填空题 12.已知a,b是两个单位向量,且a·b=,若向量2a+λb在a上的投影向量为4a,则实数λ= . 13.在△ABC中,=2,=2,点O为△ABC所在平面内的点,且||=1,||=2,则||的取值范围为 . 14.已知平面向量a,b,c满足:a与b的夹角为锐角,|a|=4,|b|=2,|c|=1,且|b+ta|的最小值为,则(c-a)·(c-b)的取值范围是 . 解答题 15.(13分)在如图所示的方格中,每个正方形小方格的边长均为1米,某人从点A出发向东走了5米到达点B,然后改变方向向东北方向走了10米到达点C,到达点C后又改变方向向北走了5米到达点D. (1)在图中作出向量,; (2)求向量的模; (3)作出向量,并求向量的模. 16.(15分)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=,(a+b)·b=3. (1)求向量a,b夹角的大小; (2)求|2a-b|的值; (3)求向量a与2a-b夹角的余弦值. 17.(15分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ACB=60°,点O为△ABC所在平面上一点,满足=m+n(m,n∈R且m+n≠1). (1)证明:=+; (2)若点O在∠ACB的平分线上,且||==,求m,n的值. 18.(17分)如图,在△ABC中,已知=2,=,=a,=b. (1)用a,b表示; (2)若=3,证明:A,F,E三点共线; (3)若AE,BD交于点F,求的值. 19.(17分)【探索创新】将形如的符号称为二阶行列式,现规定二阶行列式的运算如下:=a11a22-a12a21.已知两个不共线的向量a,b的夹角为θ,|a|=6,|b|=t(t>0)且=1. (1)求t的值. (2)若θ为钝角,试探究a+b与a-5b能否垂直,若能,求出cos θ的值;若不能,请说明理由. (3)若θ=,当k>0时,求|a-4kb|的最小值,并求出此时a与a-4kb的夹角. 参考答案 1.D 因为5(a-2b)-4(b+3a)-c=-7a-14b-c=0,所以c=-7a-14b. 2.A 由题意知四边形ABCD为平行四边形,且对角线AC∩BD=O. A(√)因为==(+),所以与+共线. B( )由-=,可知向量与-不共线. C( )由+=2,可知向量与+不共线. D( )由+=+,可知与+不共线. ... ... 
