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课件网) 北师大（2024）版数学8年级上册 第四章 一次函数 4.2.认识一次函数 生活中，我们经常见到各种各样的钟表．时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min；旋转两圈，表示时间过了2min,而分针每旋转一圈，表示时间过去了一小时。那么，秒针走过的圈数或分针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？ 第 1 页：封面 标题：4.2 认识一次函数 副标题：人教版初中数学七年级下册 制作者：XXX 背景图：一次函数 y=2x+3 的图象（直线）与实际场景结合（如购物总价、行程路程等示意图） 第 2 页：复习回顾与情境导入 复习旧知： 函数的定义：两个变量 x、y，x 每确定一个值，y 有唯一确定值与之对应，y 是 x 的函数。 函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法。 情境引入（3 个实例，列关系式）： 实例 1：某书店售卖教辅资料，单价 30 元 / 本，购买 x 本的总价 y（元）→ y=30x。 实例 2：汽车油箱原有油 50L，匀速行驶每小时耗油 6L，行驶 t 小时后剩余油量 Q（L）→ Q=50-6t。 实例 3：长方形的长为 5cm，宽为 x cm，面积 S（cm ）→ S=5x。 思考提问： 这些函数关系式有什么共同特征？（均为含两个变量的整式，变量次数为 1） 它们属于哪一类特殊函数？今天我们共同探究 ——— 一次函数。 第 3 页：探究一：一次函数的定义 观察分析（结合导入关系式）： 关系式：y=30x、Q=50-6t、S=5x，可统一写成 “y=kx+b” 的形式（k、b 为常数）。 变量次数：x（或 t）的次数均为 1，且不含变量乘积、分式、开方等形式。 一次函数的定义（加粗）： 一般地，形如 y=kx+b（k、b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linear function）。 特别地，当 b=0 时，一次函数 y=kx（k≠0）叫做正比例函数（direct proportional function），正比例函数是特殊的一次函数。 关键词解读： k≠0：若 k=0，关系式变为 y=b（常数），不是一次函数（是常量函数）。 变量次数：自变量 x 的次数必须为 1，且分母不含 x、根号不含 x。 定义辨析： 是一次函数的有：①y=2x+1 ②y=-x ③y= x-3（√） 不是一次函数的有：①y=x ②y=2/x ③y=√x ④y=5（×），说明理由（变量次数不符或形式不符）。 第 4 页：探究二：一次函数与正比例函数的关系 包含关系（图示）： 大椭圆：一次函数（y=kx+b，k≠0） 小椭圆（内含于大椭圆）：正比例函数（y=kx，k≠0，即 b=0） 实例对比： 正比例函数：y=5x（b=0，x=0 时 y=0，图象过原点） 一次函数（非正比例）：y=5x+3（b=3≠0，x=0 时 y=3，图象不过原点） 结论（加粗）： 正比例函数是特殊的一次函数（b=0 的情况），但一次函数不一定是正比例函数。 判断正比例函数的两个条件：①形如 y=kx（k≠0）；②图象过原点（x=0 时 y=0）。 第 5 页：探究三：一次函数中自变量的取值范围 取值范围的确定原则： 使函数关系式有意义（如分母不为 0、根号下非负，一次函数无特殊限制）； 符合实际情境（如人数、长度、时间等不能为负数或小数）。 实例分析： 实例 1：函数 y=2x+3（无实际情境）→ 自变量 x 的取值范围是全体实数。 实例 2：汽车剩余油量 Q=50-6t → 实际限制：Q≥0 且 t≥0，即 50-6t≥0→t≤50/6≈8.33，∴t 的取值范围是 0≤t≤8.33（t 为非负实数）。 实例 3：购买笔记本的总价 y=5x（x 为购买数量）→ x 的取值范围是非负整数（0,1,2,3,...）。 总结：一次函数的自变量取值范围需结合具体情境分析，无实际情境时为全体实数。 第 6 页：例题讲解 例 1：判断下列函数是否为一次函数，若是，指出 k、b 的值；若是正比例函数，说明理由。 （1）y=-3x+2；（2）y= x；（3）y=2x +1；（4）y=6-3x 解： （1）是一次函数，k=-3，b=2（非正比例函数） ... ...
