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课件网) 北师大（2024）版数学8年级上册 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 问题 我们知道，任意三角形的三条边必须满足：三角形的两边之和大于第三边. 对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关系？ 第 1 页：封面 标题：1.1 探索勾股定理 副标题：北师大版数学八年级上册 配图：赵爽弦图（2002 年世界数学大会会徽）+ 直角三角形示意图 第 2 页：情境导入 ——— 生活与历史的疑问 生活问题：学校旗杆高不可攀，若测得旗杆底部到测量点距离 3 米，测量点到旗杆顶部的绳子长 5 米，如何求旗杆高度？ 历史足迹： 西方：公元前 6 世纪毕达哥拉斯观察地砖图案，发现等腰直角三角形三边关系 1:1:√2 中国：《周髀算经》记载 “勾广三，股修四，经隅五”（勾 3、股 4、弦 5） 思考：这些例子是否暗示直角三角形三边存在固定数量关系？ 第 3 页：探究活动 1——— 方格纸中的面积规律 操作任务：每个小方格面积为 1，完成下表（附方格纸绘图） 直角三角形 直角边 a 直角边 b 斜边 c a b a +b c 第 4 页：探究活动 2——— 拼图验证（赵爽弦图） 材料：4 个全等直角三角形（直角边 a、b，斜边 c）、1 个小正方形（边长 b-a） 拼法：将 4 个直角三角形围在小正方形外侧，组成边长为 c 的大正方形 面积推导： 大正方形面积 = c （边长为斜边 c） 大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积 = 4×(1/2ab) + (b-a) 等式化简：c = 2ab + a - 2ab + b → c = a + b 配图：赵爽弦图分解图（标注 a、b、c 边长） 第 5 页：定理总结 ——— 勾股定理的定义 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（又称毕达哥拉斯定理、百牛定理） 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，则 a + b = c （a、b 为直角边，c 为斜边） 名称由来： 中国古代：较短直角边为 “勾”，较长直角边为 “股”，斜边为 “弦” 变式应用：a = c - b ，b = c - a （已知斜边和一直角边求另一直角边） 第 6 页：拓展证明 ——— 多元思路（选学） 欧几里得证明：通过正方形面积转化（《几何原本》经典方法） 加菲尔德证明：用两个全等直角三角形拼成梯形，利用梯形面积公式推导 提示：勾股定理现有 500 余种证明方法，体现数学思维的多样性 第 7 页：应用示例 ——— 基础与实际 基础题： 已知 Rt△ABC 中，a=6，b=8，求 c（答案：10） 已知 Rt△ABC 中，c=13，a=5，求 b（答案：12） 实际题：梯子靠墙，底部离墙 3 米，顶部高 4 米，求梯子长度（答案：5 米） 第 8 页：拓展延伸 ——— 勾股数与文化 勾股数：满足 a +b =c 的正整数组（如 3,4,5；5,12,13；7,24,25） 规律：奇数开头的勾股数：n，(n -1)/2，(n +1)/2（n 为奇数） 文化价值： 赵爽弦图：中国古代数学图腾，彰显东方智慧 跨文明共识：中西方独立发现，见证数学的普遍性 思考：非直角三角形是否满足 a +b =c ？（后续将学习逆定理） 第 9 页：课堂小结 核心定理：直角三角形 a + b = c （∠C=90°） 探究路径：情境猜想→方格纸验证→拼图证明→应用拓展 数学思想：数形结合（代数平方关系→几何图形面积）、从特殊到一般 思考 从电线杆离地面8 m处向地面拉一根钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？ 为了解决这个问题，我们今天要研究 直角三角形三边之间的数量关系. 问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系 A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1 A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 正方形A中含有 个小方格,即A的面积是 个单位面积. 同理:正方形B的面积是 个单位面积. 9 9 9 思考1 用什么办法能求出图1中A, B的面积 数格子 图1 分割成若干个直角边为整 ... ...
