4.3.2对数的运算 教学设计（表格式）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3.2对数的运算教学设计 课题 4.3.2　对数的运算 课型 新授课 课时 2课时 学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件. 2.掌握换底公式及其推论. 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 学习重点 掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件，在此过程中培养学生的数学抽象、数学运算的核心素养. 学习难点 掌握对数的运算性质、换底公式及换底公式的推导. 学情分析 学生已经学习了对数的概念与性质，根据对数与指数幂的对应关系，不难得出对数的运算性质.有了对数的运算性质之后，加强学生的运算能力的培养，此外，引导学生对学过的数学运算进行适当的整理和总结，从整体上理解数学运算是一个挑战. 核心知识 1、对数与指数幂的对应关系； 2、积、商、幂的对数运算性质换底公式及其推论； 3、换底公式及其推论. 教学内容及教师活动设计 一、复习引入 问题1 按照上一节课问题1的规划，接下来我们需要研究对数的运算及其性质，你认为可以怎样研究？ 答案：通过上节课的学习，我们知道了对数是通过指数幂的形式定义出来的，因此对数运算是由指数幂运算衍生出来的．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算，正像加法与减法、乘法与除法之间的关系一样，我们通过加法运算学习减法运算，通过乘法运算学习除法运算．对于对数运算，我们也可以通过指数幂运算推导对数运算的性质． 二、课堂探究 问题2 对数有哪些运算性质？ 追问1 请回忆指数幂的运算性质． 答案：对于任意实数r，s，均有下面的指数幂运算性质． （1）aras＝a(a＞0，r，s∈R)； （2）(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)； （3）(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 追问2 根据对数与指数间的关系，结合指数幂的运算性质（1）aras＝a(a＞0，r，s∈R)，你能将指数式aman＝a转换为对数式的形式么？由此你可以得出的对数的运算性质是什么？ 答案：设M＝am，N＝an，因为aman＝a，所以MN＝a． 根据对数与指数间的关系可得logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m+n． 这样，就得到了对数的一个运算性质：loga(MN)＝logaM＋logaN．其中a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0． 追问3 仿照上述的推导过程，由am÷an＝a，你能推出对数的其他运算性质吗？ 答案：设M＝am，N＝an，，因为am÷an＝a，所以＝a． 根据对数与指数间的关系可得logaM＝m，logaN＝n，loga()＝m－n． 于是：loga()＝logaM－logaN． 追问4 运用指数幂的运算性质及对数的概念，推导对数的运算性质：logaMn＝nlogaM． 答案：设M＝am，因为(am)n＝amn，所以logaMn＝loga(am)n＝logaamn＝mn． 根据对数与指数间的关系可得logaM＝m，所以nlogaM＝nm． 于是：logaMn＝nlogaM． 追问5 总结对数的运算性质，谈谈对数的运算性质有什么特点？ 答案：对数有如下的运算性质． 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 （1）loga(MN)＝logaM＋logaN； （2）loga()＝logaM－logaN； （3）logaMn＝nlogaM(n∈R)． 从对数的运算性质可以看出，通过对数运算可以把乘法转化为加法，把除法转化为减法，把乘方转化为乘法．从运算角度看，加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算．运算数量级的不同决定了运算的复杂度，一般来说，运算的数量级越高，运算的复杂度也越高．对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算． 结论：现代社会，由于有了计算器（机）等计算工具，对数的运算性质的这种作用似乎有些微不足道，但在数学发展过程中，由于当时没有计算工具，对于天文学中大数的乘、除等运算，仅靠纸笔运算是相当繁琐、复杂的，而对数的发明“延长了天文学家的寿命”．因此，对数运算性质在数学发展史上是伟大的成就． 三、例题讲解 例1 求下列各式的值： （1）lg； （2）log2(47×25)． 追问 根据题目 ... ...