湖南师范大学附属中学2026届高三上学期月考（四）数学试卷（含答案）

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2026届高三上学期月考（四）数学试题 一、单选题 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，是方程的两个虚根，则为（ ） A．4 B．2 C．0 D． 3．已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 4．某学校组织高二学生参加社会实践研学活动，研学路线有成都、南京、西安共3条．学校安排3名男教师和3名女教师一起负责研学活动，若每条路线安排男、女教师各1名，则不同的分配方案种数为（ ） A．36 B．72 C．108 D．216 5．正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列图形中与是异面直线，且所成的角为的是（ ） A． B． C． D． 6．已知为直线与圆的交点，为圆心，若是一个面积为的钝角三角形，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当时，的面积为（ ） A．16 B． C． D． 8．已知函数，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点分别为，且，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D．点的坐标是 11．已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（ ） A． B．在处取得极小值 C．存在唯一的实数使得 D． 三、填空题 12．已知数列的通项公式为，则当 时，数列的前项和最小. 13．已知，则 . 14．同时抛掷两枚质地相同的正六面体骰子，将朝上的点数之积记为，在平面直角坐标系中，动点的初始位置为原点，并按以下规则移动： （1）如果为4的倍数，则点向左平移一个单位； （2）如果除以4的余数为1，则点向下平移一个单位； （3）如果除以4的余数为2，则点向右平移一个单位； （4）如果除以4的余数为3，则点向上平移一个单位. 则两个骰子同时抛掷4次后，点位于的概率为 . 四、解答题 15．某校100位学生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：. (1)求图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生成绩的平均分和第80百分位数； (3)从成绩区间是：的两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在成绩区间是的这组恰好抽到1人的概率. 16．已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的一条直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 17．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形.是边的中点，平面. (1)在直线上是否存在一点，使得直线平面？ (2)若平面平面. ①求证：； ②求二面角的平面角的余弦值. 18．设数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由； (3)已知函数，其中表示不超过的最大整数，设，数列的前项和为，求除以16的余数. 19．已知函数. (1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (2)若函数在区间上恒成立，求正整数的最小值； (3)求证：. 参考答案 1．B 【详解】， ∴， 故选：B． 2．A 【详解】复数，是方程的两个虚根，则，， 所以复数. 故选：A. 3．B 【详解】. 当且仅当，即时取等号. 故选：B 4．A 【详解】每条路线安排一男一女，故总的分配方法有, 故选：A 5．B 【详解】对于A选项，连接、、，如下图所示： 在正方体中，因为、分别为、的中点，所以， 同理可证，由图可知，、为异面直线， 因为，，故四边形为平行四边形， 故，则， 因为四边形为正方形，所以，故，A不满足要求； 对于B选项，连接、、、，如下图所示： 由图可知，直线、为异面直线， 因为、分别为、的中点，所以，同理可得， 因为，，故四边形为平行四边形，故， 所以 ... ...