2026届高三上学期一模考试 数学答案 选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D C A B A C 选择题 10 11 12 BCD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知，则_____． 】因为， 所以， 解得或（舍去）， 所以． 13.卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线R方程为 ，其两焦点直角坐标系坐标为和，动点P是R上一点，则最小值为_____． 由定义可知，R上点P有为定值， ∵（0，0）在卡西尼卵形线R上， ∴有 ∴，当时，等号成立， 将五张标有1,2,3,4,5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的 一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为_____． 1 2 3 4 5 四、解答题：共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分）如图1，在中，，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的正切值； 解法二：过在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出为平面与平面所成的角，求出、的长，即可得出平面与平面所成角的正切值. 【详解】（1）在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以，， 因为，，，、平面，所以，平面. （2）解法一：因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 所以，，. 因此，平面与平面所成角的正切值为； 解法二：过在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 由（1）知平面，因为平面，则， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 所以，为平面与平面所成的角，设. 在中，，，，， 所以，，， 在中，，，，， 所以，，则， 在中，， 所以，平面与平面所成角的正切值为. 16．（15分） 在中，，上存在一点E，使得，为的中点. （1）若BA = 2，求的面积； （2）若在上的投影向量为，求的大小. 17．（本题15分）已知函数. （1）当时，求证：当时，； （2）若函数有两个零点，求的值. 【详解】（1）当时， 则，解得由，则知： 2 0 单调递增 极大值 单调递减 知时，，即恒成立 知为上的减函数，即，证毕； （2）由题意知有两个零点，设函数，则 ，即，解得或，则 1 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以，极小值为；极大值为；当时，， 当时，且，则 草图如下： 综上，有两个零点，有，即当时，有两个零点. 18.（本题17分）某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； (3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人 ... ...
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