河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期11月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D B D B D C AC AB ACD 12． 13．/ 14． 15．(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16．（1）y＝1或；（2）是，-5. 【分析】（1）由题意可得直线的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式可得求出的值，从而可求出切线方程， （2）设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0），将直线方程与圆方程联立方程组消去y，解方程可求出点的坐标，再将两直线方程联立可求出点的坐标，从而可表示出 ，化简可得结论 【详解】解：（1）1°当直线l的斜率不存在时， l的方程为x＝0，与圆C不相切； 2°当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为，即， ∴，解得或， ∴直线l的方程为y＝1或； （2）由题意可知直线l的斜率存在， 设l的方程为y＝kx+1，M（x0，y0）， 由消去y得，（1+k2）x2﹣（6﹣2k）x+9＝0， ∴， ∴，∴， 由得，， ∴，∴， ∴， ∴为定值． 17．(1) (2)或 【分析】（1）根据题意建立的方程组，求出进而即得； （2）设，与双曲线方程联立得，，结合求得的值，进而即得直线方程. 【详解】（1）由题，可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由题，直线的斜率一定存在，设，，， 联立，消去，整理得， 则，即且， ，， 若以为直径的圆过坐标原点，则， ， 整理得， ，解得，满足题意， 所以直线的方程为或. 18．(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积. 【详解】（1）由于，是的中点，所以. 由于，所以， 所以，故， 由于，平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面. （2）[方法一]：判别几何关系 依题意，，三角形是等边三角形， 所以， 由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以. ，所以， 由于，平面，所以平面. 由于，所以， 由于，所以， 所以，所以， 由于，所以当最短时，三角形的面积最小 过作，垂足为， 在中，，解得， 所以， 所以 过作，垂足为，则，所以平面，且， 所以， 所以. [方法二]：等体积转换 ，， 是边长为2的等边三角形， 连接 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的几何性质以及直角三角形可得，即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据相切得判别式为0即可求解， （3）根据韦达定理以及向量垂直的坐标关系，可得直线经过定点，即可利用等面积法求解. 【详解】（1）设短轴的端点为，左右焦点为， 由于是直角三角形，所以，结合， 解得，故， （2）由可得椭圆方程为， 与直线联立可得， 由于直线恰好与椭圆相切，故，解得， 所以椭圆方程为 （3）由于在椭圆上，设, 由可得， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程中，消去可得， 则， 由可得 即， 化简得， 由于不在直线上，所以，故，， 故直线的方程为，故过定点， 当直线的斜率不存在时，可得， 代入可得， 结合可得或（舍去）， 此时直线也经过， 综上可得直线恒经过. 因为，结合，故为直角三角形斜边上的高的长， 又直线恒经过，所以, 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求 ... ...
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