16.3.1 平方差公式 1．经历公式引入、特征概括、公式推导等步骤，在探究平方差公式的过程中，理解其结构特征和几何背景，进一步发展代数推理能力与几何直观． 2．能理解平方差公式中字母的广泛含义，准确运用公式进行简单的整式乘法运算． 平方差公式的探究和运用． 平方差公式的运用． 新课导入 从前有一个狡猾的地主，他把一块边长x米的正方形土地租给老张种植．有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”你认为老张吃亏了吗？ 【师生活动】教师组织学生交流讨论，得出共识：老张是否吃亏，取决于土地的面积是否有变化．原来土地的面积是x2，现在土地的面积是(x＋5)(x－5)，需要计算(x＋5)(x－5)． 【设计意图】以生活中的趣味数学问题引入, 激发学生的好奇心和求知欲． 新知探究 【问题1】计算下列多项式的积． （1）(x＋5)(x－5)＝_____； （2）(m＋2)(m－2)＝_____； （3）(2x＋1)(2x－1)＝_____． 【师生活动】学生在学习任务单上作答，教师给出正确答案． 【答案】（1）x2－25；（2）m2－4；（3）4x2－1． 【师生活动】教师回应新课导入环节提出的问题，通过计算得出土地的面积是（x2－25）平方米，在原来的基础上减少了25平方米，老张吃亏了． 【追问1】观察上述算式，你能发现什么规律？相乘的两个多项式有什么共同特点？ 【师生活动】学生通过观察，发现： （1）左边相乘的两个多项式，都是两个数的和与两个数的差的形式，即a＋b与a－b； 右边的计算结果是两个数的平方的差，即a2－b2； 也就是说，这几个算式都可以写成(a＋b)(a－b)＝a2－b2的形式． 【追问2】你能对发现的规律进行推导，得出(a＋b)(a－b)＝a2－b2吗？ 【师生活动】学生利用“整式的乘法”相关知识进行推导，教师给出正确答案． 【答案】(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2． 【新知】对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即 (a＋b)(a－b)＝a2－b2． 也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 这个公式叫作（乘法的）平方差公式． 【提醒】平方差公式是多项式乘法(a＋b)(p＋q)中p＝a，q＝－b的特殊情形． 【设计意图】通过让学生自主计算、观察、归纳、推导得出平方差公式，培养学生的观察能力和归纳总结能力，让学生在探究的过程中感受数学规律的形成过程，加深对平方差公式的初步认识． 【问题2】你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗？ 【师生活动】学生独立思考，小组交流，学生代表分享做法，教师点评．若学生感到有困难，教师可以引导学生从以下方面思考． （1）对于由①、②部分拼成的图形，它的面积可以怎么计算？ 方法一：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2． 方法二：把不规则图形转化为规则图形，即把②剪下来，旋转后移到③的位置，和①一起，拼成一个长方形，长方形的长是a＋b，宽是a－b，面积为(a＋b)(a－b)． （2）上述两种方法表示的面积有什么关系？由此能得出什么？ 面积相等，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2． 【设计意图】通过几何图形面积的计算，让学生感受到平方差公式直观的几何意义，丰富学生对平方差公式的认识，体会数形结合的数学思想． 例题精讲 【例1】运用平方差公式计算： （1）(3x＋2)(3x－2)； （2）(－x＋2y)(－x－2y)． 【师生活动】教师先引导学生分析算式的形式是否符合平方差公式的特点，再思考这里的a和b分别是什么．学生在学习任务单上进行解答，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：（1）(3x＋2)(3x－2) ＝(3x)2－22 ＝9x2－4； （2）(－x＋2y)(－x－2y) ＝(－x)2－(2y)2 ＝x2－4y2． 【注意】运用(a＋b)(a－b)＝a2－b2这一公式时，要注意公式的结构特征 ... ...
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