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课件网) 3.2 函数的基本性质 3.2.1单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性 下面我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律. 函数值在(-∞，+∞)上随着自变量的增大而增大. 函数值在(-∞，0]上随着自变量的增大而减小，在[0，+∞)上随自变量的增大而增大. 这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的增大而增大的性质我们称之为“函数在这个区间上是增函数”；函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的增大而减少的性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数”. 如何用数学语言进行描绘？ 函数单调性的定义 一般地，设函数 的定义域为 I，区间 : 如果 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间D上单调递增． x y 如果 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间D上单调递减． x y 如果函数 在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有单调性，区间 D 叫做 的单调区间． 我们说一个函数 单调递增或单调递减，一定说在定义域上某个区间上递增或递减． 特别的，函数 在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数； 函数 在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 思考1：设 ， 是区间 D 上的两个定值，且满足 ， ，我们能说函数 在区间 D 上单调递增吗？你能举例说明吗？ 答：不能，如图，取A={1，2，3，4}， 且 时，都有 ，但 在区间[1，4]不是单调函数． 思考2：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增（减）的函数例子吗？ 你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 如 ，在(-∞，+∞)上为增函数； 如 ，在(-∞，+∞)上为减函数； 如 ，在(-∞，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增； 如 ，在(-∞，-1]上单调递增，在[-1，+∞)上单调递减． (1)若 ，则函数 在 上单调递增．( ) (2)若 为 R 上的减函数，则 ．( ) (3)若函数 在区间(1，2]和(2，3)上均单调递增，则函数 在区间(1，3)上单调递增．( ) (4)函数 在区间 上单调递增．( ) (5)函数 的单调递增区间为 ．( ) (6)若函数 在区间 D 上单调递增，则 在区间 D 上单调递 减.( ) 想一想 下列说法是否正确 × √ × √ √ × 想一想 下图是定义在区间[-5，5]上的函数 ，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数 解：函数的单调递增区间有 ， 单调递减区间有 . 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 x y 思考3：能不能说的单调递减区间为：[－5,－2]∪[1,3]？ 1．单调区间 D 定义域 I ； 2．函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间 端点不属于定义域则只能开； 3．函数在区间 [a，b] 上单调递增(减)，在区间 [c，d ] 上也单调递增(减)， 该函数在 [a，b]∪[c，d ] 上不一定单调递增(减)，故在作答函数的单 调递增(减)区间的时候通常不能用“∪”这个符号． 分析：根据函数单调性的定义，需要考察当 x1 < x2 时，f (x1)与 f (x2)的大小.根据实数大小关系的基本事实，只要考察f (x1) - f (x2)与 0 的大小关系. 例1 根据定义，研究函数 的单调性． 证明： 且 ，则 因为 ，所以 (1)当 时， ，即 ，所以 是增函数； (2)当 时， ，即 ，所以 是减函数. 例2 根据定义证明函数 在区间 上单调递增. 证明：对 ，设 ，则有 所以 ，即 ， 所以，函数 在区间 上单调递增. 又 ， ，且 ，所以 ， ， 假设 作差 变形 定号 定论 利用定义判断函数在指定区间上的单调性的步骤: ①设 ， 是某个区间上任意两个数且 ； ②作差： 或 ； ③变形：用因式分解、配方、有理化等将差式变 ... ...
