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课件网) 3.3 幂函数 思考：以下各函数关系分别是什么？有什么共同的特征？ （1）都具有幂的形式； （2）均是以幂的底为自变量； （3）幂的指数都是常数； （4）自变量前的系数为1． 上述问题中涉及的函数，都是形如 的函数． 幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中 x 是自变量，a 是常数. 注意：(1)幂函数的解析式必须是 的形式，前面的系数是1，没有其他项； (2)函数的定义域与a的值有关系. 例1.判断下列函数是否为幂函数． (1) (2) (3) (4) (5) (6) √ × × (1)系数为1; × × √ (2)底数为自变量; (3)指数为常数． 只有同时满足这三个条件的函数，才是幂函数． 例2.(1)若 是幂函数，则 _____， _____. (2)已知幂函数 的图象经过点 ，则 _____. -2 1 1 几个常见的幂函数 对于幂函数，我们只研究 时的图象与性质. 先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数图象，再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题 . 在同一坐标系中画出函数 和 的图象. 函数 图象 R R 在R 上单调递增 奇函数 R [0，+∞） 在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)单调递增 偶函数 R R 在R 上单调递增 奇函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 定点 [0，+∞） [0，+∞） 在[0，+∞)上单调递增 非奇非偶函数 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递减 奇函数 （1，1） 一般幂函数的图象和性质 观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可以得到幂函数 随a取不同值，图象的变化规律. (1)当 时， ①图象都过点 ； ②在第一象限内，函数单调递增； ③在第一象限内， 时，图象是向下凸的， 时，图象是向上凸的； ④在第一象限内，过点 后，图象向右上方无限伸展. (2)当 时， ①图象都过点 ； ②在第一象限内，函数单调递减； ③在第一象限内，图象是向下凸的， ④在第一象限内，图象向左与y 轴无限接近，向右与x轴无限接近. 在直线 的右侧，从x 轴起，幂函数的指数a由小到大递增，即“指大图高” 例3.幂函数 在第一象限内的图象依次是图中的曲线( ) A.C1，C2，C3，C4 B.C1，C4，C3，C2 C.C3，C2，C1，C4 D.C1，C4，C2，C3 D 分数指数幂函数的性质 已知幂函数 ，若 α 为整数，我们知道 (1)当 α 为偶数时，函数为偶函数， (2)当 α 为奇数时，函数为奇函数. 那么若 α 为分数，该如何研究幂函数的性质呢？ (3)当 α 为正分数 时，函数 可化为 ， (4)当 α 为负分数 时，函数 可化为 . 例4.画出下列函数的图象 (1) (2) (3) (4) 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 1.比较下列各组数的大小. (1) (2) 答案: 2.如果函数 是幂函数，且在区间 内是减函数，求满足条件的实数m的集合. 3.已知幂函数 的图象过点 ,则 _____. 答案: (舍去 ) 3 1.学习了幂函数的概念； 2.掌握幂函数在第一象限内的图象特征，能根据奇偶性完成整个函数的图象； 3.利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”的幂的大小. ... ...
