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课件网) 最短路径问题(1) 综合与实践 人教版八年级数学上册 学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题； 2.能将实际问题中的元素抽象为数学中的“点”与“线”； 3.利用轴对称或平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” 问题.在探索最短路径的过程中，体会轴对称或平移的“桥梁”作用， 感悟“转化思想”. 学习重难点 学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 学习难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化线段和最小问题. 复习回顾 1. 如图1，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ ②最短，因为两点之间，线段最短 2. 如图2，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中， 哪条最短？为什么？ PC最短，因为垂线段最短 A B ① ② ③ 图1 P l A B C D 图2 像“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题称为最短路径问题 预备知识 3.如图，已知点A和直线l，求作点A关于l的对称点A′. A l A ′ l B A 思考 问题1：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ C C 点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？ 转化 C ∵两点之间，线段最短. ∴连接AB，交直线l于点C. 化折为直 点C为所求点. 还需要证明这个点是唯一的 l B A 证明 如图，点C是直线l的动点，证明：当点C是直线l与AB的交点时，AC＋BC的值最小. C' C 证明： 在直线l上另外任意取一点C'，连接AC'，BC'. ∵两点之间，线段最短. ∴AC'＋BC'＞AB＝AC＋BC. 分析：只需证明直线l上除点C外任意一点到点A，点B的距离的和都大于AC＋BC. 在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题. 溯源 将军饮马 问题2：[将军饮马问题]如图，将军从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地 开会，应该怎样走才能使路程最短？ B地 军营A A B C 问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？ 转化 l 探究 A B C l 问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？ B' 思考：如果能在另一侧找到一个点B'，使得对于直线上任意一点C，都 有BC＝B'C. 思考：这个点B'是否存在，若存在，与点B有什么关系？ 转化 l B A C 已解决 探究 A B C l 问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？ B' 如图，作点B关于l的对称点B'， 利用轴对称的性质，可得BC＝B'C. 故有AC＋BC＝AC＋B'C. 点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋B'C的值最小？ 转化 同侧转化异侧 探究 A B l 问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？ B' 如图，做点B关于l的对称点B'， 点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋B'C的值最小？ 转化 C 连接AB'，AB'与直线l的交点C. 点C为所求点. 探究 证明：点C是直线l的动点，点B与点B'关于直线l对称，当点C是直线l与 AB'的交点时，AC＋BC的值最小？ A B l B' C 证明： 在直线l上另外任意取一点C'，连接AC'，BC'. C' 只需证明AC'＋BC'＞AC＋BC. 连接B'C'. ∵两点之间，线段最短， ∴AC'＋B'C'＞AC＋B'C. ∵点B与点B'关于直线l对称， ∴BC'＝B'C'，BC＝B'C. ∴AC'＋BC'＞AC＋BC. 总结 问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？ A B l B' C ①将实际问题抽象成数学问题，用数 学语言表达. ②利用轴对称转移线段，将问题转化 为已解决的问题，即两点之间，线 段最短. ③用符号语言证明结论. 课堂小结 1.将军饮马问题：如图， ... ...
