5.4《函数y=Asin(ωx ψ)的图象与性质》 课件(共42张PPT)2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版

(课件网) 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质 一 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质 一 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质 　　在现实世界中，周期现象比比皆是.例如，在物理和工程技术中，为了表示交流电的电流y与时间t的关系，简谐振动中位移y与时间t的关系等，人们往往用形如y＝Asin(ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数)的函数来表示. 　　例如，简谐振动中(如图5.4-1)，弹簧下面悬挂着的小球在位置O处于平衡状态.将小球竖直向下拉到某个位置，然后放开，小球就在平衡位置的附近往复运动．为了描述小球的坐标位置y(又称位移)随着时间t的变化图象，我们在小球上安装一支绘图笔，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔在纸带上画出的就是小球的振动图象，如图5.4-2. 一 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质 图5.4-1 图5.4-2 一 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质 　　我们还可以借助传感器和计算机描绘小球振动的图象，如图5.4-3所示. 图5.4-3 一 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质 　　上图与我们熟悉的正弦曲线很相似，那么函数y＝sinx与函数y＝Asin(ωx＋φ)之间有哪些关系呢？显然，前者就是后者在A=1，ω=1，φ=0时的特殊情况. 下面，我们来探索函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，并分析参数A，ω，φ对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响. 一 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质 　　　　在同一直角坐标系中画出y＝sin x，y＝2sin x，y＝　sinx在［－π，π］上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系． 　解　函数y＝sinx，y＝2sinx，y＝　sinx的周期都是2π，在［－π，π］上分别求出这三个函数的图象上的五个关键点，并作出它们在一个周期内的简图，如图5.4-4. 例 1 　　如何找到画这三个函数图象的关键五点？试列表，并比较这五点坐标的异同. 一 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质 　　　　 图5.4-4 　　这三个函数的奇偶性、单调区间是一样的吗？ 一 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质 　　观察图5.4-4，可以看出： 　　y＝2sinx的图象可以由y＝sinx的图象上每一点(x，sinx)的横坐标不变、纵坐标乘以2(到x轴的距离放大到原来的2倍)得到．因而y＝2sinx的周期仍是2π，最大值和最小值分别变为2和－2，值域变成了［－2，2］，也就是说“振动幅度”扩大到y＝sin x的2倍． 　　类似地，y＝　sinx的图象可以由y＝sinx的图象上每一点(x，sinx)的横坐标不变、纵坐标乘以　到x轴的距离缩短到原来的　)得到．因而y＝　sinx的周期仍是2π，最大值和最小值分别变为　和－　，值域变为　　　 ，“振动幅度”缩小为y＝sinx的 . 一 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质 　　一般地，对任意A＞0且A≠1，函数y＝Asinx的图象可以由y＝sinx的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标乘以A得到．y＝Asinx的周期仍是2π，值域为［－A，A］，最大值和最小值分别为A和－A. 　　这个结论可以推广到余弦函数的情况吗？为什么？ 一 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质 　　　　在同一直角坐标系中画出y＝sinx，y＝sin2x，y＝sin　x在［－2π，2π］上的图象，观察它们之间的关系，并说出这三个函数的周期、最大值、最小值、值域之间的关系． 　解　通过“五点法”作出函数y＝sinx，y＝sin2x，y＝sin　x在区间［－2π，2π］上的简图，如图5.4-5. 例 2 图5.4-5 一 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象与性质 　　观察图5.4-5，可以看出： 　　y＝sin2x的图象可以由y＝sinx的图象上每一点(x，sinx)的纵坐标不变、横坐标除以2(到y轴的距离缩短到原来的　)得到．因而y＝sin2x的值域、最大值、最小值都与y＝sinx相同，周期缩短为 　　y＝sin　x的图象可以由y＝sinx的图象上 ... ...