数列的概念 在现实世界中，许多事物的数量可以排成一列数.例如: (1)如图,在超市的货架上摆放有一些罐头，最顶上一层有2听罐头，其余每一层的罐头数都比它上面一层的罐头数多2，共堆了8层，则从上到下每层的罐头数依次为： 导语 2 4 6 10 14 8 12 16 ① (2) 《庄子·天下》有一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 12， 14， 18， 116， 132…… ? (3)某家庭一年内1—12月的用电量（单位kW·h）依次为： 110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95. (4) ????,2????,3????,4????，···的正弦值依次为：0,0,0,0,···. ? (5)正整数1,2,3,4,5,6,···被3除的余数依次为：1，2，0，1，2，0，1，2，0，···. ? ② ③ ④ ⑤ 思考：上述①、②、③、④、⑤五列数有什么共同特征？ 自主探究一 PART 01 把这些例子的共同特征抽象出来，我们可以得到数列的概念： 数列的一般形式可以写为a1,a2,a3,… ,an … ,简记为 数列 数列的项 首项 第2项 第n项 按照一定顺序排列着的一列数 数列中每一个数 排在第一位的数 排在第2位的数 排在第n位的数 数列的分类： （1）按项的个数分： 项数有限的数列叫作有穷数列；项数无限的数列叫作无穷数列. （2）按数列的“项间的大小比较”(随序号变化的情况)来分： 从第2项起，每一项都大于它的前一项。 递增数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项。 常数列 各项都相等 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项。 摆动数列 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式． 思考 1. 可以看作 的一个函数，那么它的定义域是什么？ 正整数集 或者它的一个有限子集 2.利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列哪些方面的性质？ 我们可以根据数列的通项公式写出数列． 从函数的观点看:数列的通项公式就是数列的解析表达式． 例如，数列①②的一个通项公式分别是: 课堂练习 PART 02 例1：已知数列????????的通项公式为????????=?????2????+1. （1）写出数列的前5项及第n+1项； （2） 1315和20222025都是这个数列的项吗?若是，是第几项?. ? 分析 (1)根据数列的通项公式求数列的具体项，就是求函数值. (2) 要判断一个数是不是数列{an}中的项，实际上就是判断是否存在正整数n，使得an等于这个数. 解:（1）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,5得到数列的前5项分别为?12,0,14,25,12 . 用n+1代替通项公式????????=?????2????+1中的n得到数列的第n+1项是?????1????+2, 即????????+1=?????1????+2. ? （2）若1315是数列{????????}的项，则号1315=?????2????+1，解得n=432?，不是整数. 因此， 1315不是数列{????????}的项. 同样地，若20222025是数列{????????}的项，则20222025?= ?????2????+1?，解得n=2024. 因此， 20222025是数列{????????}的项，是第2 024项. ? 例1：已知数列????????的通项公式为????????=?????2????+1. （1）写出数列的前5项及第n+1项； （2） 1315和20222025都是这个数列的项吗?若是，是第几项?. ? 例2：观察下面各数列,试着写出它的一个通项公式: （1） ?1，1，?1，1，···? （2） 9，99，999，9999，··· （3）12，?34，78，?1516，···? ? 解:（1）因为这个数列的前4项为：因为这个数列的前4项为(-1)1，(-1)?，(-1)3，(-1)4，由此得到它的一个通项公式an=(-1)n. （2）因为这个数列的前4项为：10 ??1， 102?1?， 103?1?， 104?1 ， 由此可得到它的一个通项公式：????????=10?????1. ? 例2：观察下面各数列,试着找出它的一个通项公式: （3）12，?34，78，?1516，··· ? （3）因为这个数列的前4项为： (?1)2·2?12?，(?1)3·22?122，(?1)4·23?123， (?1)5·24?124?，由此可得到它的一个通项公 ... ...
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