4.4 数学归纳法(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台 4.4数学归纳法 一．选择题（共6小题） 1．用数学归纳法证明：（n为正整数）从k到k+1时，等式左边需增加的代数式是（　　） A．k2+（k+1）2 B．k2+（k+1）2+k2 C．（k+1）2 D．2k+1 2．用数学归纳法证明：12+22+…+n2+…+22+12，第二步从k到k+1，等式左边应添加的项是（　　） A．（k2+1）2 B．k2+1 C．（k+1）2+k2 D．（k+1）k2+2k2 3．利用数学归纳法证明：不等式（n≥2，n∈N）的过程中，由n＝k变到n＝k+1时，左边增加了（　　） A．1项 B．k项 C．2k﹣1项 D．2k项 4．用数学归纳法证明，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（　　） A． B． C． D． 5．用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（　　） A．增加了 B．增加了 C．增加了，但减少了 D．增加了，但减少了 二．多选题（共3小题） （多选）7．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下： ①当n＝1时，，不等式成立； ②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即， 则当n＝k+1时，． 故当n＝k+1时，不等式成立． 则下列说法错误的是（　　） A．过程全部正确 B．n＝1的验证不正确 C．n＝k的归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确 （多选）8．以下四个命题，其中满足“假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（　　） A．2n＞2n+1（n≥2） B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1） C．凸n边形的内角和为f（n）＝（n﹣2）π（n≥3） D．凸n边形的对角线条数 （多选）9．对于不等式n+1（n∈N*），某学生用数学归纳法的证明过程如下： ①当n＝1时，1+1，不等式成立 ②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k2+k＜k+1，则n＝k+1时，（k+1）+1，∴当n＝k+1时；不等式成立． 关于上述证明过程的说法正确的是（　　） A．证明过程全都正确 B．当n＝1时的验证正确 C．归纳假设正确 D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确 三．填空题（共4小题） 10．记f（n）＝1+2+3+ +（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了 　 　 项． 11．用数学归纳法证明1n（n∈N*，且n≥2），第一步要证的不等式是　 　 ． 12．若用数学归纳法证明2n＞n2成立，正整数n的第一个取值为 　 　 ． 13．用数学归纳法证明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12时，第（ii）步从n＝k到n＝k+1时等式左边应添加的项是 　 　 ． 四．解答题（共2小题） 14．已知函数． （1）依次求f（2），f（3）+f（4），f（5）+f（6）+f（7）+f（8）的值； （2）对任意正整数n，记，即．猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 15．已知数列{an}中，a1＝1且an+1． （Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项； （Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明． 4.4数学归纳法 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．用数学归纳法证明：（n为正整数）从k到k+1时，等式左边需增加的代数式是（　　） A．k2+（k+1）2 B．k2+（k+1）2+k2 C．（k+1）2 D．2k+1 【考点】数学归纳法的适用条件与步骤． 【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解． 【答案】A 【分析】取n＝k+1和n＝k代入左式相减得到答案． 【解答】解：等式左边需增加的代数式是：[12+22+ +k2+（k+1）2+k2+ +22+12]﹣（12+22+ +k2+ +22+12）＝k2+（k+1）2． 故选：A． 【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题． 2．用数学归纳法证明：12+22+… ... ...