5.2 任意角的三角函数 第1课时 课件+教学设计 2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

(课件网) 5.2 任意角的三角函数 第一课时 一 用比值定义三角函数 一 用比值定义三角函数 　　如图5.2-1，在平面上建立直角坐标系．以锐角 α 的顶点为原点O，角α的始边为x轴的非负半轴．在α的终边OM上任取不同于原点O的点P(x，y)，则OP的长度为　 　　过点P作x轴的垂线，垂足为D，则在 Rt△OPD中，三边OP，OD，DP之长分别 为r，x，y. 　　由锐角三角函数的定义有： 图5.2-1 一 用比值定义三角函数 　　若在角α的终边OM上另取一点P′(x′，y′)，按照同样的方法构造直角三角形，由相似三角形的知识可以知道：对于确定的角α，上述三个比值不会随点P在α的终边上的位置的变化而变化.因此，把锐角放在直角坐标系中，锐角的三角函数（正弦、余弦、正切）可以用终边上不同于原点的任意一点的坐标来表示. 　　图5.2-2是否可以把这种思想推广到 直角坐标系中任意角的三角函数呢？ 图5.2-2 一 用比值定义三角函数 　　如图5.2-2，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)定义： 　　以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切． 一 用比值定义三角函数 　　依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的比值 　和 　 与之对应，故正弦和余弦都是角α的函数. 当OM在y轴上，也就是　　　　　(k∈Z)时，x＝0，这时　无意义.除此之外，对于每一个确定的角α，都有唯一确定的比值　与之对应，故正切也是角α的函数．y=sin α， y=cos α， y=tan α 分别叫作角 α 的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为三角函数.由于引入弧度制后，角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，因此三角函数可以看成以实数为自变量的函数.在弧度制下，正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表： 一 用比值定义三角函数 一 用比值定义三角函数 　　　　如图5.2-3，已知角α的终边经过点P(4，－3)，求α的正弦、余弦和正切值． 　解　x＝4，y＝－3，则r＝　　　　　 ＝5， 　所以　　　　　　　　　， 　　　　　　　　　， 例 1 图5.2-3 一 用比值定义三角函数 　　　　求角　 的正弦、余弦和正切值． 　解　在平面直角坐标系中作　　　　　（如图5.2-4），在终边OB上取点P，使OP的长为1. 　　由于点P在第四象限，OP与x轴正方向的夹角 为　　　　　，因此可得点P的坐标为 　　因为r=OP=1， 　　所以 例 2 图5.2-4 一 用比值定义三角函数 　　1.已知角α的终边经过点P(－12，－5)，求α的正弦、余弦和正切值． 　　2.利用三角函数的定义求下列各角的正弦、余弦和正切值． 　　(1) 　；　 (2) π； 　(3) ；　 (4) ；　 (5) ． 练 习 返回目录 二 用有向线段表示三角函数 二 用有向线段表示三角函数 　　在三角函数的定义式中，正弦sin α＝　与余弦cos α＝　的分母都是r.为了简单起见，我们可以取r＝1，即让点P(x，y)在单位圆上，则sin α＝y，cos α＝x. 而x， y都可以作线段来表示.具体作图方法如下： 　　如图5.2-5，设单位圆的圆心为直角 坐标系的原点O，角α的终边与单位圆交 于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D. (1) (2) (3) (4) 图5.2-5 二 用有向线段表示三角函数 　　由三角函数的定义可知，三角函数值sin α＝y，cosα＝x有正负之分，若仅用线段DP，OD来分别表示它们还不够，需引入方向. 为此，我们规定： 　　将DP看作有方向的线段，D为起点，P为终点：当它指向y轴的正方向时，取正实数值y；当它指向y轴的负方向时，取负实数值y；当它的长度为0时，取零值．在所有的情况下都有 DP＝y＝sin α. 　　由于直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关，以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，使得它们的取值与点P的坐标 ... ...