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课件网) 直线与双曲线的位置关系 2026年高考数学一轮复习专题课件★★ 1．直线与双曲线的位置关系(代数法) (2)当b2－a2k2≠0时，①相切：Δ＝0；②相交：Δ>0；③相离：Δ<0. 2．直线与双曲线的位置关系(几何法) 可以根据渐近线的斜率判断直线与双曲线的位置关系．例如：设此双曲线的渐近线斜率为±k，(1)当直线过点P且斜率等于±k时，直线与双曲线相交于一点，如图，直线①③均与双曲线右支交于一点；(2)当直线过点P且斜率在(－k，k)上时，直线与双曲线左、右两支各交于一点，如直线②；(3)当直线过点P且斜率在(－∞，－k) ∪(k，＋∞)上时，直线可能与双曲线的右支交于两点，如直线⑥，也可能与双曲线右支相切，如直线④，还可能与双曲线相离，如直线⑤. 题型一 直线与双曲线的位置关系 一个公共点的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 √ (2)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，则k 的取值范围是_____． 【解析】 由题意知k≠±1，联立消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0， 由题意此方程有两个不等的正根， 状元笔记 直线与双曲线位置关系的判断方法 将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例： (1)若a≠0且Δ>0，则直线与双曲线相交，有两个公共点； (2)若a≠0且Δ＝0，则直线与双曲线相切，有且只有一个公共点； (3)若a≠0且Δ<0，则直线与双曲线相离，没有公共点； (4)若a＝0且b≠0，则直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点； (5)若a＝0且b＝0，则直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点． 思考题1 (1)直线l：y＝2x和双曲线x2－y2＝4的交点个数为_____． 0 【解析】 (几何法)双曲线的渐近线为x2－y2＝0，即y＝±x. ∵双曲线焦点在x轴上，l过原点，且l的斜率大于渐近线斜率，∴直线l与双曲线相离，交点个数为0. 题型二 弦长问题 【解析】 (2)由(1)知，F1(－2，0)，F2(2，0)， 由题意得直线AB的方程为y＝－(x－2)， 即x＋y－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 状元笔记 题型三 中点弦问题 【答案】 不能，理由见解析 状元笔记 直线与双曲线相交所得弦的中点问题常用点差法，但是点差法只是代数运算，所以还需验证直线与双曲线是否相交． √ 思考题3 已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为( ) 题型四 直线与双曲线的综合问题 (1)求双曲线C的标准方程； a2＋b2＝c2，③ 由①②③可得a2＝5，b2＝4， (2)直线l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围． 【解析】 (2)由题意知直线l不过点A. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略)． 整理得(4－5k2)x2－10kmx－5m2－20＝0， 由4－5k2≠0且Δ>0， 由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ， 又A(0，2)，且易知AD的斜率存在， (a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线l与C的右支相交于A，B两点． (1)当直线l与x轴垂直时，OA⊥OB，求C的离心率； (2)当C的焦距为2时，∠AOB恒为锐角，求C的实轴长的取值范围． 【解析】 (2)若C的焦距为2，则c＝1，即F(1，0)． 由于直线l不为水平直线，可设其方程为x＝my＋1. 结合b2＝1－a2(0
0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 一、圆锥曲线第三定义及其应用 【人教A版选修一P108例3，P109练习T4】 圆锥曲线的第三定义：平面内与两定点A1(－a，0)，A2(a，0)连线的斜率的乘积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(除去A1，A2两点)，其中两个 ... ... 
