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课件网) 17.2 一元二次方程的解法 第17章 一元二次方程 17.2.3 因式分解法 学习目标 1. 会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程；(重点) 2. 在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想. (难点) 我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0．类似地，解方程 (x + 1)(x - 1) = 0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解。你能求出方程 (x + 3)(x - 5) = 0 的解吗？ 引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的初速度竖直上抛，那么经过 a s 物体离地面的高度为 (10a - 4.9a2) m. 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到 0.01 s) 分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即 10x - 4.9x2 = 0. ① 因式分解法解一元二次方程 1 解： 解： ∵a = 4.9, b = -10, c = 0, ∴b2 - 4ac = (-10)2 - 4×4.9×0 =100. 公式法解方程 10x - 4.9x2 = 0. 配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0. 4.9x2 - 10x = 0. 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 10 - 4.9x = 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10x - 4.9x2 = 0 ① x(10 - 4.9x) = 0 ② x = 0 通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法. 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤： 一移———使方程的右边为 0； 二分———将方程的左边因式分解； 三化———将方程化为两个一元一次方程； 四解———写出方程的两个解。 简记歌诀： 右化零，左分解； 两因式，各求解. 知识要点 试一试：下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x - 5) = 0； (1) x1 = 0， x2 = 5. (2) (y + 2)(y - 3) = 0； (2) y1 = -2，y2 = 3. (3) (3x + 6)(2x - 4) = 0； (3) x1 = -2，x2 = 2. 典例精析 例1 解方程：x2 - 2x = 0. 解 提取公因式，得 x(x - 2) = 0. 因此，有 x = 0 或 x - 2 = 0. 所以原方程的根是 x1 = 0，x2 = 2. 例2 解方程：( x + 4 ) ( x -1 ) = 6. 解 将原方程化为一般形式，得 x + 3x -10 = 0. 把方程左边分解因式，得 ( x + 5 )( x -2 ) = 0. 因此，有 x + 5 = 0 或 x - 2 = 0. 所以原方程的根是 x = -5，x = 2. 思考 方程两边同除以 x ，得 x = 1. 故方程的根为 x = 1. 这样做对吗 为什么 例3 解方程：x = x. 解 移项、提取公因式，得 x( x -1 ) = 0. 因此，有 x = 0 或 x - 1 = 0. 所以原方程的根是 x1 = 0，x2 = 1. 例4 解下列方程： 解：(1) 因式分解，得 ∴ x - 2 = 0 或 x + 1 = 0. 解得 x1 = 2，x2 = -1. (x - 2)(x + 1) = 0. (2) 移项、合并同类项，得 4x2 - 1 = 0. 因式分解，得 (2x + 1)(2x - 1) = 0. ∴ 2x + 1 = 0 或 2x - 1 = 0. 解得 例5 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； 分析：方程左右两边含公因式，所以用因式分解法解答较快. 灵活选用适当的方法解方程 2 解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 解得 (2) (5x + 1)2 = 1； 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 解得 x1 = 0，x2 = (3) x2 - 12x = 4； 解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62，即 (x - 6)2 = 40. 开平方，得 解得 x1 = ，x2 = 分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快. (4) 3x2 = 4x + 1. 解：整理成一般形式，得 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵ b2 - 4ac = 28 > 0， 分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法. 填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型。 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 ... ...
