5.3 函数的单调性 教学设计（共4课时）

江苏凤凰教育-出卷网- 高中数学 必修 第一册 第5章 函数概念与性质 5.3 函数的单调性（第1课时） 本课时内容主要包括从形与数两方面理解函数单调性的概念，依据图象判断函数的单调性和应用定义证明一些简单函数在给定区间上的单调性．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中指出“借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义”． 函数的单调性是学生在了解函数概念之后学习的第一个函数性质，也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质．函数单调性的研究体现了对函数研究的一般方法．这就是：加强数形的结合，由直观到抽象，由特殊到一般．即借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化的数字特征，从而加以解析研究，用准确的数学语言刻画．函数的单调性为研究函数的其他性质起到了示范作用，提供了方法依据． 函数的单调性有着承前启后的作用．一方面，函数的单调性是前一节内容函数的概念与图象知识的延续与扩展，同时函数的单调性又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础，在解决函数定义域、值域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；此外，从方法论的角度分析，本节教学过程当中，还渗透了数形结合、归纳类比、转化与化归等数学思想．利用定义证明函数单调性的过程中，算法的思想提前渗透，在强调对单调性概念中的“任意”理解的同时，为后面逻辑用语中的全称量词和存在性量词的深入理解提前做了铺垫． ▍教学目标 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法． 通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 数学抽象：用数学符号语言表示函数单调性． 逻辑推理：证明函数单调性． 直观想象：图象法判断函数的单调性． ▍情境设置 【问题1】 下图为某市一天24小时内的气温变化图． 观察这张气温变化图，能得到什么信息？ [学生活动] 当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻； 在某时刻的温度； 哪些时段温度升高，哪些时段温度降低． [教师引导] 如何描述气温随时间的变化情况？ 在区间上，随的增大而增大这一特征， 要是用数学符号来刻画，该如何表述呢？ 能不能说：取，，，，得到相对应的，，，的值，有，所以在上，随的增大而增大？ 能不能说，取该子区间内所有的输入值，，，…，，得到相对应的，，，…，的值，有，所以在区间上，随的增大而增大？ 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． [教师引导] 生活中还有哪些数据是随着时间的变化而变化的？ [学生活动] 水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等． [教师引导] 用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． ▍概念的探究与建构 [教师引导] 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义． 【问题2】 分别作出函数，，，的图象，并观察自变量变化时函数值的变化规律． [学生活动] 函数，在整个定义域内随的增大而增大；函数，在整个定义域内随的增大而减小． 函数，在上随的增大而增大，在上随的增大而减小． 函数，在上随的增大而减小， ... ...