高考（或高三模拟）试题中数列大题的类型与解法

高考（或高三模拟）试题中数列大题的类型与解法 数列问题也是近几年高考的热点问题之一，可以这样毫不夸张地说，只要是数学高考试卷，都必有一个数列问题的12分大题或两到三个数列问题的5分小题。从题型上看是17或18题的12分大题或选择题（也可能是填空题）的5分小题；难度为中，低档题型，一般的考生都会拿到7到12分；纵观近几年高考试卷，归结起来数列大题问题主要包括：①等差数列与等比数列之间的综合，求基本数列（等差数列或等比数列）的前n项和；②等差数列与等比数列之间的综合，运用裂项相消法求数列的前n项和；③等差数列与等比数列之间的综合，运用拆项求和法求数列的前n项和；④等差数列与等比数列之间的综合，运用错项相减法求数列的前n项和；⑤等差数列与等比数列之间的综合，求数列前n项和的最值等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答数列大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、设数列｛｝满足=3，=+。 证明：｛n｝为等差数列； （2）设f(x)=x++--+，求(-2)。（2025全国高考新高考I） 2、记为数列｛｝的前n项和，已知=6，（n+2)=n。 求，，； 在下列两个结论中，任选一个加以证明（若两个都证明，以首选计分）。 ①{}是等比数列；②{}是等比数列； （3）记是数列{}的前n项和，求（成都市高2023级高三零诊）。 3、记为{}的前n项和，且4=3+4。 （1）求数列{}的通项公式； （2）设=n，求数列｛｝的前n项和。（2024全国高考甲卷） 4、已知等比数列{}的前n项和为，且2=3-3。 （1）求数列{}的通项公式； （2）求数列{}的前n项和（2024全国高考乙卷） 5、已知数列{}中，=1，设为{}的前n项和，2=n。 （1）求数列{}的通项公式； （2）求数列{}的前n项和。（2023全国高考甲卷） 6、已知等比数列{}的公比为3，且，+3，-6成等差数列。 （1）求数列{}的通项公式； （2）求数列{n}的前n项和（成都市高2020级高三二诊） 〖思考问题1〗 （1）【典例1】是等差数列，等比数列之间的综合与一般数列求和的问题，解答这类问题需要理解等差数列，等比数列的定义，通项公式，前n项和公式等基本概念，掌握等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式，并能熟练运用公式解答相关问题，注意一般数列的结构特征，选用恰当的求和方法求出结果； （2）第一小题一般是求通项公式的问题，解答时只需根据题给条件求出数列的首项和公差d（或公比q），再运用通项公式就可以得出结果；第二小题是一般数列求和的问题，解答时注意数列通项是两个因式的积，其中一个因式分裂出来构成等差数列，另一个因式分裂出来构成等比数列的特征（这种数列也称为差比数列），求和的基本方法是错项相减法； （3）错项相减法的基本方法是：①根据通项公式把前n项和表示出来；②将①式的两边同乘以等比数列的公比；③两式相减右边得到一个基本数列（等差数列或等比数列）与某项（或某几项）的和；④运用基本数列前n项和公式求出右边的和；⑤求出数列的前n项和（等式两边同除以的系数）。 [练习1]解答下列问题： 1、设数列｛｝满足=3，=3-4n。 （1）计算，，猜想数列｛｝的通项公式并加以证明； （2）求数列｛｝的前n项和（2021全国高考新课标III）。 2、设等比数列｛｝满足+=4，-=8。 （1）求数列｛｝的通项公式； （2）记为数列｛｝的前n项和，若+=，求m（2020全国高考新课标III）。 3、已知等比数列｛｝的前n项和为，公比q＞1，且+1为，的等差中项，=14。 （1）求数列｛｝的通项公式； (2)记=.，求数列｛｝的前n项和（2019成都市高三二诊） 【典例2】解答下列问题： 设m为正整数，数列，，--，是公差 ... ...