一、平面向量的线性运算 1．向量加法的运算律 交换律：a＋b＝b＋a. 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法． (2)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，A，P，B三点共线 m＋n＝1. 二、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ. (1)a⊥b a·b＝0. (2)当a∥b时，a·b＝ (3)a·a＝|a|2或|a|＝. (4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 2．求投影向量有两种方法 设非零向量a与b的夹角为θ，与向量b方向相同的单位向量为e，则 (1)a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e； (2)a在b方向上的投影向量为e. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 三、平面向量的坐标运算 1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ是实数，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． 2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 4．数量积、长度、夹角和垂直的坐标表示 已知两个非零向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2. (2)|a|＝，|b|＝. (3)cos θ＝. (4)a⊥b x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量)． 四、平面向量的应用 1．余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论： ①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形 a2＋b2
