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课件网) 导数与函数的单调性 2026年高考数学一轮复习专题课件★★ 函数的单调性与导数的关系 已知函数y＝f (x)在某个区间内可导，则 (1)若f′(x)>0，则f (x)在这个区间内单调递增． (2)若f′(x)<0，则f (x)在这个区间内单调递减． (3)若f′(x)＝0，则f (x)在这个区间内是常数函数． 回归教材 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的_____； 第2步，求出导数f′(x)及函数f′(x)的____； 第3步，用f′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性． 定义域 零点 导数的绝对值与函数值变化的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”． 常用结论 (1)在某区间内，f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f (x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件．可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对 x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． (2)若函数f (x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)若函数f (x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0. 夯实双基 答案 (1)× 解析 对于(1)，如f (x)＝x3，它在(－∞，＋∞)上为增函数，但f′(x)＝3x2≥0； (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f (x)在(a，b)内单调递减． 答案 (2)√ (3)若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 答案 (3)√ (4)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f (x)在此区间内没有单调性． 答案 (4)√ 解析 对于(4)，如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f (x)在这个区间内为常数函数，则函数f (x)在这个区间内没有单调性． (5)函数f (x)在区间(a，b)上变化得越快，其导数就越大． 答案 (5)× 2．【多选题】已知定义在R上的函数f (x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) √ A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e) C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(d)>f(e) √ 解析 由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f (x)在(－∞，c)上单调递增，因为a
f(b)>f(a)．当x∈(c，e)时，f′(x)<0，所以函数f (x)在(c，e)上单调递减，因为cf(d)>f(e)． 3．(课本习题改编)函数y＝3x2－2ln x的单调递增区间为_____，单调递减区间为_____． 4．(2025·青岛检测)若y＝x＋ (a>0)在[2，＋∞)内单调递增，则a的取值范围是_____． (0，2] 间为(－∞，－a]和[a，＋∞)．∵函数在[2，＋∞)内单调递增，∴[2，＋∞) [a，＋∞)，∴a≤2.又a>0，∴0