第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试试题(图片版,含答案)

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 高一　第2试试题 一、选择题(每小题4分,共40分.) 1.下列四个选项中,能表示图1中的阴影部分的是( ) (A)(A ∪C)∩ (B ∪C). (B)(A ∪B)∩ (A ∪C). (C)(A ∪B)∩ (B ∪C). (D)(A ∪B)∩C. 2.一款触摸屏手机,在设计键盘锁时采用了新的方案:将0~9这10个数字按由 小到大的顺序等距排成一个圆,并顺时针不停地旋转.小明发现爸爸只按动了3次便 打开了键盘锁.那么,小明为了保证打开手机的键盘锁,至少要尝试( )次. 图1 (A)3. (B)40. (C)240. (D)1000. 3.在 △ABC 中,若tanA=2,tanB=3,则内角C 的值为( ) (A) π . (B) π . ( ) π 3π 6 4 C 3. (D)4. (1) -x 2+x+2 4.函数y= 的单调递增区间是( )2 ( 1A)[-1,2]. (B)(-∞, 1- ] 1.(C)[ ,+∞). (D)2 2 [1,2 2]. 5.从集合M={x 720∈N ,x ∈N }中取出3个元素,从小到大排成一列,使其成等比数列,x 则所有不同的公比之和是( ) (A)15. (B)21. (C)23. (D)27. 6.若cosα ≠0,sinα+3cosα+1=0,则tanα=( ) ( )3 4 3 4A 4. (B) ( ) ( )3. C -4. D -3. 7.如图2,在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1 中,点E 是棱AB 的中 点,点F 在棱CD 上,且DF∶FC=2∶1,则A1E 与C1F 的距离等于( ) ( )43A . (B)3. (C)2. (D)3 5. 8.Givenprovisionfn(x)=f…f(f(x)),nisapositiveinteer.■———��———�� g n个f 图2 {2(1-x),0 xIf (x) ≤ ≤1, 4f = thenthevalueoff2013 is( )x-1, 10,b+c>0,c+a>0.若设p=f(a)+f(b)+ f(c),则( ) (A)p >q. (B)p 3q. (D)p <3q. 10.已知等比数列{an}满足a1+a2+a3=1,并且公比q<0,若令t=a1a2a3,则t的取值范 围是( ) (A)(-∞,-1]. (B)(0,1]. (C)[-1,+∞). (D)[-1,0). 二、填空题(每小题4分,共40分.) 1 x 1 1 1 1 11.已知函数 +f(x)= ,则 · · ·…·1-x f(2) f(4) f(6) f(2014)= . ( ) m212.已知幂函数f x =x -2m-3(m ∈Z)的图象与x 轴,y 轴都没有交点,但是关于y 轴对称, 那么f(x)= . 13.若y=log (x22013 -ax+65)的值域为R+,那么a 的取值范围是 . 14.自点P(-5,5)发出的光线l经过x 轴反射,其反射光线所在直线正好与圆x2+y2=1相 切,那么入射光线l所在直线的方程是 . 2 ax 15.命题 :已知函数 (x) -p f = (a是不等于0的常数),若f(x)在区间(0,1]上单调递减,a-1 则a 的取值范围是(-∞,0)∪ (1,2]. 命题q:由于偶函数满足对于定义域内的任何一个x 都有f(x)=f(-x),所以它不是一一对 应关系,故偶函数一定不存在反函数. 则(■p)∨ (■q)是 命题.(填“真”或“假”) 16.Givenx,y,z∈R+,and3x =4y =6z.Thenwrite3x,4y,and6zin orderfromleasttogreatestas . 17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等差数列{bn}的前n项和为Tn,且 Sn 2n , a则 8 T =n 3n+7 b = . 6 图3 18.如图3,已知正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱AA1 上一点,且AE= 2A1E,设过点B、D1、E 的平面为α,则α 与底面ABCD 所成角的正切值是 . 2aa 19.若等差数列{an}的公差为d,且a a m n 9- 4=2a3,am +an=2a5,则 的最3a1d 大值是 . 20.已知{xn}是等比数列,把数列{xn}中的所有项按图4所示的规律排成一个 三角形数表.则当x3=4,x6=32时,图中第m 行第1个数是 . 图4 三、解答题 每题都要写出推算过程. 21.(本题满分10分) 过圆C:x2+y2-4x-4y+7=0外一点P(a,b)作圆C 的切线PT,T 为切点,使|PT|=| PO|.当|PT|取得最小值时,求点P 的坐标及|PT|的值. 22.(本题满分15分) x 1 若关于x 的方程| - |x =k (x-1)2 有4个不同的实数根,其和为S.求: (1)实数k的取值范围; (2)实数S 的取值范围. 23.(本题满分15分) 已知函数f(x)={log2(1+x),x ≥0,log1 (1-x),x <0.2 (1)判断函数y=f(x)的奇偶性; (2)对任意两个实数x1,x2,求证:当x1+x2 >0时,f(x1)+f(x2)>0 ... ...