福建省同安第一中学2025届高三上学期期中考试数学试卷（含详解）

福建省同安第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题 一、单选题 1．已知复数在复平面内对应的点与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数的共轭复数（ ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知是以为直径的圆上一点，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 4．已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 6．已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为R，且，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．已知三个内角的对应边分别为，且，则（ ） A．若，则 B．若，则在上投影向量的模长为1 C．若，，则角有两解 D．若，则 10．函数的部分图象如图所示，点是图象上的最高点，点是图象与轴的交点，点在轴上.若是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（ ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于点对称 D．在区间上有个极值点 11．如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（ ） A． B．与所成角的余弦值是 C．点到平面的距离为 D．过点的平面截四棱锥的截面面积为 三、填空题 12．已知，则在上的投影向量坐标为 . 13．记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为 ． 14．若，则的取值范围为 . 四、解答题 15．已知数列和等差数列的前n项和分别为，，且，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 16．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数a的取值范围. 17．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 18．的内角所对的边分别为.已知. (1)若，求； (2)点是外一点，平分，且，求的面积的取值范围. 19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系中，，定义两种距离：欧几里得距离；曼哈顿距离. (1)求满足的点的轨迹所围成的图形面积； (2)在中，求证：； (3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 参考答案 1．A 【详解】复数在复平面内对应的点为，关于虚轴对称的点为， 所以，则. 故选：A 2．B 【详解】化简不等式，可知 推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选B． 3．B 【详解】如图，连接，，因为是圆的直径，所以， 又，，则， 又是的中点，则， . 故选：B. 4．A 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 5．B 【详解】由已知得，当时，则，即，， ∵为偶函数，∴，即， ∴，，∴， 故选：. 6．C 【详解】因为一个边长为2的正方形纸片绕着一条边旋转弧度，所形成的几何体为柱体的一部分， 是底面半径r为2,高h为2的圆柱的八分之一， 所以其表面积， 故选：C 7．D 【详解】 设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接，如图所示． 易知“水滴”的“竖直高度” ... ...