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课件网) 利用导数证明不等式 2026年高考数学一轮复习专题课件★★ 题型一 直接构造函数证明不等式 (2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f (x)的单调性； 【答案】 (1)见解析 【解析】 (1)f′(x)＝aex－1， 当a≤0时，f′(x)<0，f (x)在R上单调递减； 【答案】 (2)证明见解析 方法三：易证ex≥x＋1，ln x≤x－1，且两个等号不能同时取得， 则f (x)＝a(ex＋a)－x＝ex＋ln a＋a2－x≥(x＋ln a＋1)＋a2－x＝1＋ln a＋ 状元笔记 (1)若证明f (x)<0，x∈(a，b)，可直接转化为证f (x)在(a，b)上的最大值小于0. (2)若证明f (x)
1时，f (x)1)，则g′(x)＝ex－1－2＋ ， 令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝ex－1－ ，显然h′(x)在(1，＋∞)上单调递增，则h′(x)>h′(1)＝e0－1＝0， 即g′(x)＝h(x)在(1，＋∞)上单调递增，故g′(x)>g′(1)＝e0－2＋1＝0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 故g(x)>g(1)＝e0－2＋ln 1＋1＝0， 所以ex－1－2x＋ln x＋1>0，即ex－1>2x－ln x－1，原不等式得证． 题型二 放缩构造函数证明不等式 已知函数f (x)＝aex－1－ln x－1. (1)若a＝1，求曲线y＝f (x)在(1，f(1))处的切线方程； 【答案】 (1)y＝0 【解析】 (1)当a＝1时， f (x)＝ex－1－ln x－1(x>0)， f′(x)＝ex－1－，f′(1)＝0， 又f(1)＝0，∴切点为(1，0)． ∴切线方程为y－0＝0(x－1)，即y＝0. (2)证明：当a≥1时，f (x)≥0. 【答案】 (2)证明见解析 【解析】 (2)证明：∵a≥1，∴aex－1≥ex－1， ∴f (x)≥ex－1－ln x－1. 方法一：令g(x)＝ex－x－1，∴g′(x)＝ex－1. 当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0， ∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(0)＝0， 故ex≥x＋1，当x＝0时取“＝”． 同理可证ln x≤x－1，当x＝1时取“＝”． 由ex≥x＋1 ex－1≥x(当x＝1时取“＝”)， 由x－1≥ln x x≥ln x＋1(当x＝1时取“＝”)， ∴ex－1≥x≥ln x＋1，即ex－1≥ln x＋1， 即ex－1－ln x－1≥0(当x＝1时取“＝”)， 即f (x)≥0. 方法二：令φ(x)＝ex－1－ln x－1(x>0)， ∴φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又φ′(1)＝0， ∴当x∈(0，1)时，φ′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0， ∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)min＝φ(1)＝0，∴φ(x)≥0， ∴f (x)≥φ(x)≥0. 状元笔记 放缩法证明不等式 在证明不等式的时候，若直接证明比较困难，可将不等式中的部分项进行放大或缩小，然后证明放缩后的不等式成立，再根据不等式的传递性证明原不等式成立，这种方法就是放缩法证明不等式，常用的放缩技巧有：(1)ex≥x＋1；(2)ex－1≥x；(3)ln x≤x－1；(4)ln(x＋1)≤x等． 思考题2 已知函数f (x)＝aln(x－1)＋ ，其中a为正实数．证明：当x>2时，f (x)0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0， 所以h(x)在x＝1时取得极大值亦即最大值h(1)＝0. 因此h(x)＝ln x－(x－1)≤0，即l ... ... 
