第2章 直线与圆的位置关系 题型过关（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 第2章 直线与圆的位置关系 题型过关 【例1】若的半径为5，点P到圆心O的距离也为5，则经过点P的直线与的位置关系是（ ） A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相切或相离 【答案】C 【分析】此题考查了直线与圆的位置．根据点到经过点P的直线的距离小于或等于半径5，则经过点P的直线与的位置关系是相切或相交． 【详解】解：∵的半径为5，点P到圆心O的距离也为5， ∴圆心到经过点P的直线的距离小于或等于半径5， ∴经过点P的直线与的位置关系是相切或相交， 故选：C． 【变式1-1】如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 【变式1-2】如图1，在矩形中，边长，，其中a、b分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点． (1)_____； (2)如图2，当点O运动到的角平分线上时， ①判断此时半圆O与有怎样的位置关系，并说明理由； ②求此时t的值； (3)如图3，当半圆O与的边有两个交点时，请直接写出t的取值范围_____． 【答案】(1)5 (2)①相切，见解析；② (3)或 【分析】（1）先求出的根，从而可得，的长，再根据矩形的性质，结合勾股定理求得； （2）①运用角平分线性质定理得，可得是圆O的切线； ②利用三角形面积公式，得到关于关于的方程求解，求出，从而可求此时t的值； （3）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：由，即， 解得：，， 边长，，其中a，分别是方程的两个根， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 故答案为：5； （2）①与相切， 理由：如图，过点O作，垂足为点E， ∵在矩形中，， ， 是的平分线， ， 是的切线， 即与相切； ②， ， ， 即， ， ； （3）如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接， 由知， 如图，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ， 当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O的切点为M，连接， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点； 连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ， ， 如图，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半 ... ...