2025-2026学年人教A版数学选择性必修一单元检测第三章 圆锥曲线的方程 单元测试（含解析）

第三章　圆锥曲线的方程 (考查范围：第三章　时间：120分钟　分值：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为(　　) A． B．2 C．2 D．4 2．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＋y2＝1 D．＋y2＝1 3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)．若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 4．过点P(2，1)的直线l与双曲线x2－＝1相交于A，B两点．若P是线段AB的中点，则直线l的方程是(　　) A．6x－y－11＝0 B．6x＋y－13＝0 C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－4＝0 5．(2024·新高考全国Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＝1(y>0) B．＝1(y>0) C．＝1(y>0) D．＝1(y>0) 6．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A．4 B．3 C．2 D． 7．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 8．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆C：＝1的两个焦点为F1，F2，P是C上任意一点，则(　　) A．|PF1|＋|PF2|＝4 B．|F1F2|＝2 C．|PF1|≤5＋ D．|PF1|·|PF2|≤25 10．(2024·新高考全国Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则(　　) A．l与⊙A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ C．当|PB|＝2时，PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 11．某载人飞船返回舱的轴截面可近似地看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图．在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与半椭圆交于点A，与半圆交于点B，则(　　) A．椭圆的长轴长为4 B．线段AB长度的最大值为2＋2 C．△AFG的周长为4＋4 D．在x轴上方的半椭圆上存在M，N两点，使得∠FMG＝∠FNG＝ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(2024·新高考全国Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为_____． 13．给出四个命题：①方程x2＋y2－2x＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆＝1的离心率e＝；③抛物线x＝2y2的准线方程是x＝－；④双曲线＝－1的渐近线方程是y＝x.其中是假命题的是_____.(填序号) 14.两点．若△ABF2的内切圆的面积为π，则△ABF2的面积为_____，|y1－y2|＝_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)双曲线C与椭圆＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程． 16．(15分)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝6，MN垂直于x轴，垂足为点N． (1)求点M的横坐标； (2)求△MNF的面积． 17．(15分)(2024·北京卷)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)且斜率 ... ...