福建省同安第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（ ） A．3 B．6 C．4 D．8 4．已知函数，，的零点分别为，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（ ）． A． B． C． D． 6．已知向量，，其中，则的最大值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（ ） A． B． C． D． 8．若实数满足，则下列结论不可能成立的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A． B．若，则直线的斜率为 C．三点共线（其中为坐标原点） D． 11．外接圆半径为的满足，则下列选项正确的是（ ） A． B． C．的面积是 D．的周长是 三、填空题 12．已知具有线性相关的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，则 ． 13．已知数列的前n项和为，，，则 . 14．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题 15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A； (2)若，求的值. 16．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. (1)求双曲线的方程； (2)若直线：与C的右支交于A，B两点，为坐标原点. （i）求的取值范围； （ⅱ）若直线与轴交于点，且，求的面积. 18．现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为 (1)求； (2)求的概率分布列并求出; (3)证明： 19．已知函数. (1)求函数在上的单调递减区间； (2)当时，，求的最大值； (3)证明：方程在上有唯一实数解. 参考答案 1．B 【详解】依题意，，则或， 而，所以. 故选：B 2．D 【详解】由，则， 则在复平面内对应点的坐标为. 故选：D 3．B 【详解】由题意设双曲线的方程为，则， 解得，故所求实轴长为. 故选：B . 4．A 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为， 它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 5．A 【详解】， 故． 故选：A 6．B 【详解】，， ， ，当且仅当时取等号， 的最大值是3． 故选：B． 7．A 【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 如图： 所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时． 显然的最大值为1，故． 故选：A 8．D 【详解】由，得， 由选项知只需要讨论及两种情况. 当时，， 所以， 因为函数在上单调递增，所以，即， 得成立，故A正确； 又因为，所以， 即，得，所以，故B正确； 当时，， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以，即，得成立，故C正确； 因为，所以， 所以， 得，即，故D错误， 故选：D. 9．BC 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中 ... ...
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