板块四 立体几何与空间向量培优点 培优点1 几何体的交线问题 1.利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线,即只需找相交平面的两个公共点,两点连线就是交线. 2.利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行,再利用性质作出交线. 3.对于球与多面体的交线长问题,根据交线的不同有两种计算方法:一是利用弧长公式计算,只需找出弧所对的圆心角即可;二是转化为截面小圆计算,只需找到小圆半径即可. 类型(一) 与多面体有关的交线问题 1.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB,AD,D1C1,CC1的中点分别为E,F,G,H,则下列直线中,与平面ACD1和平面BDA1的交线平行的直线为 ( ) A.GH B.EH C.EG D.FH 2.在正三棱锥P ABC中,PA=6,BC=6,M,N,Q,D分别是AP,BC,AC,PC的中点,平面MQN与平面PBC的交线为l,则直线QD与直线l所成角的正弦值为 ( ) A. B. C. D. 3.正三棱台A1B1C1 ABC中,A1B1=1,AB=AA1=2,点E,F分别为棱BB1,A1C1的中点,若过点A,E,F作截面,则截面与上底面A1B1C1的交线长为 . 类型(二) 与球有关的交线问题 4.如图,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为,以顶点A为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于 ( ) A. B. C.π D. 5.如图,在三棱锥A BCD中,AB,AC,AD两两垂直,且AB=AC=AD=3,以A为球心,为半径作球,则球面与底面BCD的交线长度和为 ( ) A.2π B.π C. D. 6.已知正三棱台ABC A1B1C1的上、下底面边长分别为2和5,侧棱长为3,则以下底面的一个顶点为球心,2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线长为 . 7.已知三棱锥P ABC的棱AP,AB,AC两两互相垂直,AP=AB=AC=2,以顶点P为球心,4为半径作一个球,球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧,则最长弧的弧长等于 . 培优点2 动点的轨迹问题 动点的轨迹问题通常有轨迹形状判断和求轨迹的长度(最值)两种题型.解决此类问题的关键是求动点的轨迹.求动点轨迹一般有两种思路,一是根据线面位置关系和空间几何体的结构特征能直观判断动点的轨迹(如:动点P满足PA⊥PB,点A和点B为定点,则点P的轨迹是以AB为直径的圆(不含A,B点));二是建立空间直角坐标系,根据题干条件设出动点的坐标,利用线面位置关系或题干条件得出动点坐标的方程,对比圆锥曲线方程特点判断动点的轨迹.对于轨迹最值问题,通常是要求最值的量用动点的某个坐标表示(注意坐标的取值范围),通过函数或基本不等式求最值,有时也可以根据空间几何体的结构特征和题干条件直观判断何时取最值,判断后直接求解即可. [典例] (多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,M为DD1的中点,N为正方形ABCD所在平面内一动点,则下列命题正确的有 ( ) A.若MN=2,则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为π B.若MN与平面ABCD所成的角为,则N的轨迹为圆 C.若N到直线BB1与直线DC的距离相等,则N的轨迹为抛物线 D.若D1N与AB所成的角为,则N的轨迹为双曲线 [方法例析] 因为MN=2,MD=1,所以DN==,所以线段MN的中点到线段MD中点的距离为定值, (注意:N点是正方形ABCD所在平面内一动点,不局限于正方形ABCD内,因而轨迹是整个圆,而不是一段弧) 所以线段MN的中点的轨迹是以线段MD中点为圆心,半径为的圆,面积S=πr2=,故A错误; tan∠MND=,∠MND=,则DN==,所以N的轨迹是以D为圆心,半径为的圆,故B正确; 点N到直线BB1的距离为BN,所以点N到定点B和直线DC的距离相等,且B点不在直线DC上,由抛物线定义可知,N的轨迹是抛物线,故C正确; 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴, 建立空间直角坐标系,设N(x,y,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),所以=(x,y,-2),=(0,2,0),cos 60°===,化简得3y2-x2=4,即-=1,所以N的轨迹为双曲线,故D正确. 答案:BCD [应用体验] 1.如图,点A是平面α外一定点,过A作平面α的斜线l,斜线l与平面α所成角为5 ... ...
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