中小学教育资源及组卷应用平台 培优05 一元二次方程根的分布问题 题型1 根在R上的分布 若在上没有实数根，则满足； 若在上有两个相等实数根，则满足； 若在上有两个不相等实数根，则满足； 【注意】形如的方程，不一定是一元二次方程，注意是否等于. 1（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 2（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知对于实数或：关于的方程有实数根，则是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】：关于的方程有实数根， 则，解得或. 因为所表示的集合是所表示的集合的真子集， ∴是成立的必要不充分条件， 故选：B． 3（2022高一·全国·专题练习）已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】A 【分析】方程有两个相等的实数根，即，解方程可得或，又，故判断三角形的形状. 【详解】方程有两个相等的实数根，则， 又有， 或，又，故是等腰三角形. 故选：A 4（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的方程有实数根，若命题是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先推出为真命题，再结合二次函数的判别式法求解即可； 【详解】由题意可得为真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 5（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得，是方程的两个不等实根，由判别式大于0可得范围．再由，取范围交集得解. 【详解】因为，， 所以，是方程的两个不等实根， 则△，解得． 而，即，解得，或（不和题意，舍去），所以. 故答案为： 题型2 根的“0”分布 1若有两个实数根，，则，； 2 一元二次方程根的“0”分布，可以用韦达定理求解，也可以利用二次函数的图象处理，常考虑常数项与开口方向。 1（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令（），原方程转化为，根据一元二次不等式有两个不等的实根求解即可. 【详解】令（），原方程转化为． 关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根， 因此有。解得． 故选：D． 2（23-24高二下·福建福州·阶段练习）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次方程判别式以及两根的符号，结合韦达定理列不等式求出a的取值范围,再根据充分、必要条件的定义可得答案 【详解】设两个不等负实数根分别为， 则需满足， 解得，即， 所以是方程有两个不相等负根的充要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件， 故选：B. 3（24-25高二下·天津南开·期末）已知，均为正数，且，则的最大值为（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据换元法，将方程进行换元，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程有正根，求出代数式的最大值. 【详解】令，则， 代入得，化简得， 可知， 因为方程有实数根，所以，解得， 当时，根据韦达定理可知两根之和，两根之积， 此时有正数根，符合题意，所以的最大值为. 故选：C. 4（24-25高一上·山西吕梁·阶段练习）函数的定义域 ... ...
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