中小学教育资源及组卷应用平台 微专题 对称性及应用 题型一 函数对称性的证明 1.证轴对称：设函数上两点(x,y)与(2a - x,y),代入解析式验证是否相等,相等则关于 对称。 2.证中心对称：设两点(x,y)与(2a - x,2b - y),代入验证,相等则关于(a,b)对称。 1．（2025高一·江苏·课后作业）设a为给定实数，函数的定义域为A. （1）若对于任意，都有，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由. （2）若对于任意，都有，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由. 【答案】（1）关于直线成轴对称．（2）关于点成中心对称， 【分析】（1）由已知性质得出函数图象上的点关于直线对称，即证明图象上任一点关于直线的对称点仍然在函数图象上； （2）由已知性质得出函数图象上的点关于点成中心对称，即证明图象上任一点关于点的对称点仍然在函数图象上． 【详解】（1）设是图象上任一点，又 则， 所以也是函数图象上的点， 又的中点坐标为在直线上，且与直线垂直，即关于直线对称，而是函数图象上任一点，即图象上任一点关于直线的对称点仍然在函数图象上， 所以函数的图象关于直线成轴对称． （2）设是图象上任一点，又 则，， 所以也是函数图象上的点， 又的中点坐标为，即关于点成中心对称，而是函数图象上任一点，即图象上任一点关于点的对称点仍然在函数图象上， 所以函数的图象关于点成中心对称． 2．（2025高一·全国·课后作业）证明：函数的图象关于点对称． 【答案】证明见解析 【分析】先对函数变形，然后根据反比例函数图象对称的性质证明即可 【详解】证明：函数的定义域为， 因为， 所以的图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的， 因为的图象关于对称， 所以函数的图象关于点对称 3．（2025高一·江苏·课后作业）证明函数的图象关于y轴对称. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明函数为偶函数，利用偶函数的性质即得证 【详解】由题意，函数的定义域为R， 且. 故函数为偶函数，偶函数的图象关于y轴对称. 故函数的图象关于y轴对称，即得证. 4．（2025高一·全国·课后作业）求证:二次函数的图像关于对称. 【答案】见解析 【解析】验证与相等即可证出. 【详解】证明:任取,因为, ,所以, 因此函数的图像关于对称. 【点睛】本题考查函数对称性的证明，只需验距相等的自变量的函数值相等即可证出，此题属于基础题. 5．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)求证：函数的图象关于点对称. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）点代入即可求出结果； （2）将进行变形得到，利用平移规律进行证明。 【详解】（1）解：由得，所以. （2）证明：由（1）知， 因为， 所以函数的图象是由的图象先向右平移1个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到， 因为是奇函数，图象关于原点对称， 所以的图象关于点对称. 6．（2025高二·江苏徐州·期末）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）原不等式可变形为，分类讨论后可求不等式的解集； （2）根据函数解析式可得，故可证函数图象中心对称； （3）根据函数的单调性和对称性可得在上有解，参变分离后可求的取值范围. 【详解】（1）易得不等式即． 当时，，解得， 当时，，解得． 综上可知，不等式的解集为． （2）因为的定义域为， 对任意的，都有， 且， 从而， 即的图象关于点对称，所以曲线是中心对称图形． （3）因为（），所以， 所以在，上单调递增． 由（2）可知，，所以， 所以在上有解， 即在上有解． 又因为，所以，， 所以在上有解，即． 由，得，故，即或． 所以的取值范围是． ... ...
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