5.3.1 函数的单调性 （利用导数求函数的单调性） 复习学案 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（pdf版）

导数的应用 第 1课时利用导数研究函数的单调性 观察下图 y y b a b x a x 图1 图2 发现图 1是单增函数的函数，并且切线的斜率大于零，图 2是个单调递减的函数，并且切线的斜率小于零. 一般地，设函数 y= f(x)，在区间 (a，b)上， 如果 f ′ (x)> 0，则 f(x)在该区间上单调递增；如果 f ′ (x)< 0，则 f(x)在该区间上单调递减． 壹 无参函数的单调性 例题分析 例 求函数 f(x) = 12 x 2- ln x的单调区间： 求单调区间的步骤： 解 函数 f(x) = 1 x22 - ln x的定义域为 (0，+∞)， 1.确定函数 f(x)的定义域． 又 f′ ( ) = (x+1)(x-1) 2.求 f′ (x)．x x . 令 f′ (x)> 0 ,则 x> 1或 x<-1 ,又 x> 0 ,所以 x> 1 3.在定义域内解不等式 f ′ (x) > 0，得单调递增区间． 令 f′ (x)< 0 ,则-1< x< 1 ,又 x> 0 ,所以0< x< 1 故函数 f(x) = 1 4.在定义域内解不等式 f ′ (x) <2 x 2- ln x的单调递增区间为 (1，+∞)； 0，得单调递减区间． 单调递减区间为 (0 , 1)． 变式1 求下列函数的单调区间 ∴函数的单调递增区间为 1e ,+∞ ，单调递减区间为 0, 1 e . (1) f x = x3- 2x2+ x (3) y= xex 答案：增区间为 -∞, 1 和 (1 ,+∞)，减区间为 1 ,1 答案：单调增区间为 -1,+∞ ，单调减区间为 -∞,-1 .3 3 解析：设 f x = xex，f R x = x+1 e x，因为 x∈R时，ex> 0恒成 解析：由题可得函数的定义域为 ， 1 立，f x = 3x2- 4x+ 1= 3 x-1 x- 3 ． 则当 1+ x> 0，即 x>-1时，f x > 0，此时函数 f x 单调递增， 令 f x 1 1 > 0，可得 x> 1或 x< ；令 f x < 0，可得 < x< 1． 当 1+ x< 0，即 x<-1时，f x < 0，此时函数 f x 单调递减，3 3 1 则函数的单调增区间为 -1,+∞ ，单调减区间为 -∞,-1 .∴函数 f x = x3- 2x2+ x的单调递增区间为 -∞, 3 和 (1 , 2 1 +∞)，单调递减区间为 1 ,1 (4) y= 4x +3 ． x 答案：单调递增区间为 12 ,+∞ ，单调递减区间为 (-∞ , 0)和 (2)y= xlnx． 0, 12 答案：(2)单调递增区间为 1 ,+∞ ，单调递减区间为 0, 1e e 解析：y= 4x2+ 1 , x≠ 0，则 y = 8x- 1 = 8x3-1x 2 2 ， 解析：y= xlnx , x> 0，则 y = 1+ lnx， x x 1 由 y = 0，得 x= 1 ， 由 y = 0，得 x= ， 2e 1 当 x> 1 时，y > 0；当 x< 0或 0< x< 1 时，y < 0， 当 x> e 时，y > 0；当 0< x< 1 e 时，y < 0， 2 2 ∴函数的单调递增区间为 12 ,+∞ ，单调递减区间为 (-∞ , 0)和 1 0, 12 . 变式2 函数 f(x) = (x2+ 2x)ex(x∈R)的单调递 (5)f(x) = x2- lnx 减区间为 (-2- 2，-2+ 2) ． 答案：单调递增区间为 2 ,+∞ ，单调递减区间为 0, 2 ． 解析　由 f ′ (x) = (x 2+ 4x+ 2)ex< 0，即 x2+ 4x+ 2< 0， 2 2 解得-2- 2< x<-2+ 2 . 2 解析：函数 f(x)的定义域为 1 2x -1 0,+∞ ，f (x) = 2x- = ． 所以 f(x) = (x2x x + 2x)e x的单调递减区间为 (-2- 2，-2+ 2 )． 令 f (x)> 0，得 x> 2 ，令 f 2 (x)< 0，得 0< x< 2 2 ， 变式3 函数 f(x) = ln x- 4x+ 1的单调递增区 ∴ f(x)在 22 ,+∞ 上单调递增，在 0, 2 2 上单调递减， 间为 0，14 . ∴函数 f(x)的单调递增区间为 22 ,+∞ ，单调递减区间为 解析　 f(x) = ln x- 4x+ 1的定义域是 {x|x> 0}，f ′ (x) = 1x - 4 0, 2 ． = 1-4x2 x ，当 f ′ (x)> 0时，解得 0< x< 1 4 ，故选A. 贰 含参函数的单调区间的讨论 类型一 导函数为一根 例题分析 例已知函数 f(x) = x3+ ax.讨论 f(x)的单调性； 解 因为 f x = x3+ ax，所以 f x = 3x2+ a. ①当 a≥ 0时，因为 f x = 3x2+ a≥ 0，所以 f x 在R上单调递增； ②当 a< 0时，令 f x > 0，解得 x<- -3a 或 x> -3a .令 f x < 0，解得- -3a 3 3 3 < x< -3a 3 ， 则 f x 在 -∞,- -3a3 ， -3a 3 ,+∞ 上单调递增；在 - -3a , -3a3 3 上单调递减. 变式1 已知函数 f (x) = ... ...