(
课件网) 2025-2026学年北师大版数学九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.1.1 正切 新课导入 A 1 小明在A处仰望塔顶，测得∠1的大小， 再往塔的方向前进50m到B处，又测得∠2的大小， B 2 根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗？ 1.1.1 正切 教学过程 一、教学基本信息 - 课题：1.1.1 正切（人教版初中数学九年级下册或北师大版初中数学九年级上册） - 课时：1课时（45分钟） - 授课对象：初中九年级学生 - 学情分析：学生已掌握直角三角形的性质、勾股定理，以及“比值与图形形状的关系”等基础认知，具备一定的观察、猜想、验证能力，但对“用比值刻画角的大小”这一抽象概念需要具象引导。 二、教学目标 1. 知识与技能：理解正切的定义，掌握直角三角形中锐角正切的表示方法；能根据直角三角形的边长求锐角的正切值，或根据锐角的正切值与一边长求另一边长；了解正切值随锐角增大而增大的变化规律。 2. 过程与方法：通过“情境探究—猜想验证—定义抽象—应用巩固”的过程，培养学生的几何直观和逻辑推理能力，体会“从特殊到一般”“数形结合”的数学思想。 3. 情感态度与价值观：感受正切在实际生活中的应用价值，激发学生对数学的探究兴趣；通过小组合作，培养学生的合作意识与表达能力。 三、教学重难点 - 重点：正切的定义及直角三角形中锐角正切值的计算。 - 难点：理解正切的本质是“锐角的函数”，即正切值与锐角的对应关系（与边长无关）；运用正切解决实际问题。 四、教学准备 - 多媒体课件（包含情境图片、几何图形、练习题） - 学生分组学具：含30°、45°、60°的直角三角形模型（每组各2个，边长不同但锐角对应相等）、刻度尺、计算器 五、教学过程 （一）情境导入，激发疑问（5分钟） - 问题1：学校旗杆高15米，从旗杆底部到某观测点的水平距离为20米，观测点看旗杆顶端的“倾斜程度”如何？ - 问题2：某山坡，上坡走10米可升高3米；另一山坡，上坡走20米可升高6米，哪个山坡更陡？ - 师：“倾斜程度”“陡峭程度”是生活中常见的描述，如何用数学方法精确刻画呢？仅用“高”或“水平距离”单一量够吗？（引导学生发现“单一量无法比较”） - 生：讨论后回———需要结合“垂直高度”和“水平距离”来判断。 （二）探究新知，抽象定义（15分钟） 1. 从特殊直角三角形入手，探究比值规律 - 任务：每组拿出含30°的两个直角三角形（△ABC和△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=30°，边长不同），测量每个三角形中“∠A的对边”和“∠A的邻边”的长度，计算“对边长度/邻边长度”的比值，记录结果。 - 学生操作：分组测量、计算，教师巡视指导，提醒测量时保留一位小数。 - 成果展示：各小组汇报数据，教师板书。引导学生发现：虽然两个三角形边长不同，但“∠A的对边/∠A的邻边”的比值相等（约为0.58）。 - 师：换用含45°、60°的直角三角形，重复上述操作，会有类似规律吗？ - 学生活动：快速测量计算，汇报结果。发现：含45°的直角三角形中，对应比值均为1；含60°的直角三角形中，对应比值均约为1.73。 - 生：在直角三角形中，只要锐角的度数固定，它的“对边与邻边的比值”就固定不变，与三角形的大小无关。 2. 抽象正切定义，明确表示方法 - 板书：tanA = ∠A的对边 / ∠A的邻边 = BC / AC - 强调：① tanA是一个比值，没有单位；② 下标“A”表示对应的锐角，不可省略；③ 定义的前提是“直角三角形”，且是“锐角的对边与邻边”（区分“对边”“邻边”：与锐角相邻的直角边是邻边，相对的直角边是对边，斜边既不是对边也不是邻边）。 3. 探究正切值与锐角的关系 （三）例题讲解，巩固应用（12分钟） 1. 基础题型：已知边 ... ...
