中小学教育资源及组卷应用平台 2026北师大版高中数学必修第二册 专题强化练4 平面向量的数量积及性质 1.(多选题)(2025江苏南京第二十九中学月考)关于平面向量,有下列四个命题,其中错误的是( ) A.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量共线的单位向量为 B.已知非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30° C.已知平面向量a=(1,2),b=(2,t),若向量a与b的夹角为锐角,则t>-1 D.已知向量=(2,2),=(-1,-),则在上的投影向量为(,3) 2.(2024江西景德镇一中月考)已知G是△ABC的重心,O是△ABC所在平面内的一点,满足·+·+·=6,++=6,则||=( ) A. B. C. D.2 3.(多选题)(2024江西南昌第五中学期中)引入平面向量之间的一种新运算“ ”如下:对任意的向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),规定m n=x1x2-y1y2,若对于平面内的任意向量a,b,c,则下列说法正确的是( ) A.a b=b a B.(λa) b=λ(a b) C.a·(b c)=(a b)·c D.|a|·|b|≥|a b| 4.(2025浙江金兰教育合作组织期中)已知||=||=2,且与的夹角为,动点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,则·的最小值为( ) A.-8 B.-4 C.-2 D.2 5.(2025陕西榆林期中联考)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国传统民间艺术之一.有一个正八边形窗花隔断如图1所示,从窗花图中抽象出的几何图形的示意图如图2所示.在正八边形ABCDEFGH中,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 ;若正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,则·的最小值为 . 图1 图2 6.(2025吉林毓文中学月考)如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,对角线AC,BD交于点O,点M在AB上,且满足OM⊥BD. (1)求·的值; (2)若N为线段AC上任意一点(不含端点),求·的最小值. 答案与分层梯度式解析 专题强化练4 平面向量的数量积及性质 1.AC 2.C 3.ABD 4.B 1.AC 对于A,因为A(1,3),B(4,-1),所以=(3,-4),||=5,所以与向量共线的单位向量为±=±,故A中命题错误; 对于B,因为|a|=|b|=|a-b|,所以|b|2=|a-b|2, 即|b|2=|a|2+|b|2-2a·b,化简得2a·b=|a|2, 所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=3|a|2,即|a+b|=|a|, 又a·(a+b)=a2+a·b=|a|2, 所以cos
===, 因为0°≤≤180°,所以=30°,故B中命题正确; 对于C,若向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a,b不同向共线,即1×2+2t>0且1×t-2×2≠0,解得t>-1且t≠4,故C中命题错误; 对于D,因为=(-1)2+=4,·=2×(-1)+2×(-)=-4, 所以在上的投影向量为·=×(-1,-)=(,3),故D中命题正确. 易错警示 (1)与非零向量a=(x,y)共线的单位向量为±; (2)与非零向量a=(x,y)垂直的单位向量为±. 其中正、负号表示不同的方向. 2.C 由G是△ABC的重心,得++=0,即(-)+(-)+(-)=0, 所以=(++), 又因为=+++2(·+·+·)=18,所以||=. 3.ABD 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3).对于A,因为a b=x1x2-y1y2,b a=x2x1-y2y1,所以a b=b a,故A正确; 对于B,因为(λa) b=(λx1)x2-(λy1)y2=λ(x1x2-y1y2)=λ(a b),故B正确; 对于C,a·(b c)=(x2x3-y2y3)a,(a b)·c=(x1x2-y1y2)c,此时a·(b c)=(a b)·c不恒成立,故C错误; 对于D,因为(|a|·|b|)2=(·)2=+++,|a b|2=+-2x1x2y1y2, 所以(|a|·|b|)2-|a b|2=++2x1x2y1y2=(x1y2+x2y1)2≥0, 又|a|·|b|≥0,|a b|≥0,所以|a|·|b|≥|a b|,故D正确. 4.B 由向量加法的平行四边形法则可得=(+),=(+), 所以-=(+)-(+)=-, 所以=2(-), 所以=4(-2·+)=4×22-2×2×2×+22=16,所以||=4, 当MN过点O时,·可取得最小值, 此时||+||=4, 所以||||≤=4, 当且仅当||=||=2时取等号, 故(||||)max=4, 故与反向共线时,·取得最小值,最小值为-4. 5.答案 ;-2 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,设正八边形ABCDEFGH的中心O到各顶点的距离均为1, 则A(0,-1),E(0 ... ... 
