4.4.2 对数函数的图象和性质 教学设计

教学设计4.4.2 对数函数的图象和性质 （一）教学内容 对数函数图象的两种绘制方法（描点法、对称变换法）；通过图象观察与代数运算探究对数函数的定义域、值域、过定点、单调性等核心性质；底数 对对数函数图象和性质的影响规律；利用单调性比较同底数对数的大小。 （二）教学目标 1.经历“列表—描点—连线”的完整过程，能独立绘制 的图象，利用对称性快速绘制 的图象，掌握“代数运算辅助图象精准化”的方法，发展直观想象素养； 2.通过“图象观察—性质猜想—代数验证”的闭环探究，能准确表述对数函数的核心性质，能用作差法结合对数运算性质证明单调性，提升逻辑推理与数学运算素养； 3.能根据底数大小判断对数函数的单调性，熟练运用单调性比较同底数对数的大小，初步体会分类讨论思想，强化知识应用能力； 4.迁移指数函数的研究方法，初步形成“绘制图象—观察特征—代数验证—归纳性质”的函数研究通用框架，体会数形结合思想的价值。 （三）教学重点与难点 教学重点：对数函数图象的绘制方法；对数函数的核心性质（定义域、值域、过定点 、单调性）； 教学难点：对数函数单调性的代数证明；底数对对数函数图象和性质的影响规律。 （四）教学过程 环节一：情境导入———衔接单元知识，自然引出课题 问题1：衔接旧知，引出对数函数 我们已经学过指数函数 ，若已知 ，可求出 ；若把“ 作为因变量， 作为自变量”，这个新函数的解析式是什么？类比指数函数“作图—探性质—用性质”的研究路径，我们该如何探究对数函数？ 追问：(1) 对数函数的解析式为 ()，其定义域为什么是 ？结合对数定义代数验证。 (2) 尝试列出 的几组对应值（如 ），为作图做准备。 师生活动：教师引导学生从指数与对数的互化关系引出对数函数；学生独立验证定义域，完成列表，小组核对数值准确性。 设计意图：类比旧知搭建研究框架，通过列表为描点作图铺垫，强化知识连贯性。 环节二：精讲环节———规范绘图步骤，探究核心性质 问题2：绘制图象，观察特征 请按以下步骤完成图象绘制，探究对数函数图象的共性与差异：(1) 用描点法画出 的图象，列表时为何优先选 () 这类值？ 尝试用换底公式转化 ，观察它与 的图象关系，快速画出图象。 (3) 课本中还给出了 和 的图象示例，结合这四个函数图象，总结对数函数图象的共同特征和不同之处。 追问：(1) 对数函数的图象始终在 轴右侧，为什么不会与 轴相交？ (2) 当 和 时，图象的增减趋势有什么不同？ 师生活动：教师巡视指导作图，用课件展示标准图象；学生独立完成作图，对比课本图象修正，小组讨论图象特征并汇报。 设计意图：让学生经历“列表—描点—连线”的完整过程，通过对比不同底数的图象，为归纳性质提供直观支撑。 问题3：归纳性质，代数验证 结合绘制的图象和课本示例，猜想对数函数 () 的核心性质，再从代数角度验证： 定义域、值域分别是什么？ 函数是否过定点？若过，定点坐标是什么？如何证明？ (3) 单调性与底数 的取值有什么关系？尝试用“作差法+对数运算法则”证明 的单调性。 追问：(1) 课本中提到“对数函数的图象都过点 ”，这一结论的代数依据是什么？ (2) 当 时，底数越大，图象越靠近 轴正半轴，这一规律如何结合单调性理解？ 师生活动：教师引导学生从“定义域、值域、过定点、单调性”四个维度归纳，板书性质表格；学生独立完成单调性证明，小组交流验证思路。 设计意图：落实“图象观察—猜想—代数验证”的研究方法，提升逻辑推理和数学运算素养。 环节三：践思环节———巩固基础应用，强化性质理解 问题4：课本例题应用，深化性质理解 （1）例3：比较对数大小（课本核心例题） 呈现课本例3：比较下列各组中两个值的大小： log23.4 与 log28.5； 与 ； ③ 与 ()。 追 ... ...