北京市中关村中学2026届高三上学期12月月考数学试题（含部分答案）

北京市中关村中学2025-2026学年高三上学期12月月考 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若的展开式中常数项为32，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 若复数z满足，则（ ） A B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为4，N是的中点，O为坐标原点，那么线段的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（ ） A. B. C. D. 8. 设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 给出下列四个结论： ①存在定义域为且单调递增的函数使得恒成立； ②存在定义域为且单调递减的函数使得恒成立； ③使得，恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得，恒成立的函数存在且有无穷多个. 其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则_____. 12. 已知向量，，则的最大值为_____；与的夹角的取值范围是_____． 13. 已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为_____；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为_____． 14. 我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体中，，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且到平面的距离为，和的距离为，若，，，，，则该“羡除”的体积为_____. 15. 在平面直角坐标系内，动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的和为4.记动点M的轨迹为曲线W，给出下列四个结论： ①曲线W过原点； ②曲线W是轴对称图形，也是中心对称图形； ③曲线W恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）； ④曲线W围成区域的面积大于. 则所有正确结论的序号是_____. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 如图，在三棱柱中，平面，、分别为、的中点，. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小. 18. 已知，是函数的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. （1）求的解析式； （2）若在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点．过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求的大小． 20. 已知函数（）. （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 21. 已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，第n项之后各项，…的最小值记为，. （1）若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出的值； ... ...