第三单元 等式性质与不等式性质、基本不等式 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.[2024重庆一中高一期末]函数y=3x+(x>0)的最小值是( ) A.4 B.5 C.3 D.2 1.D 要求和的最小值,考虑凑出积为定值,两式相乘即可.因为x>0,所以y=3x+≥2=2,当且仅当3x=,即x=时,等号成立,则y=3x+(x>0)的最小值是2. 2.[2024兵团二中高一期中]若a>0,ab>0,则( ) A.b>0 B.b≥0 C.b<0 D.b∈R 2.A A(√)由ab>0,a>0,得>,即b>0;B( )D( )当b=0时,ab=0,不满足题意;C( )当b<0时,由a>0,得ab<0,不满足题意. 3.[2025柳州一中高一月考]已知4a2+b2=6,则ab的最大值为( ) A. B. C. D.3 3.B 由题意得,6=4a2+b2=(2a)2+b2≥2·2a·b,即ab≤,当且仅当2a=b,即a=,b=或a=-,b=-时等号成立,所以ab的最大值为. 4.[2025余姚中学高一期中]若a>0,b>0,则“ab≤4”是“a+b≤4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.B 因为a>0,b>0,所以可取a=4,b=1,则满足ab≤4,但是a+b=5>4,所以“ab≤4”不能推出“a+b≤4”;反过来,因为2≤a+b,所以当a+b≤4时,有2≤4,即ab≤4,当且仅当a=b时取等号.综上可知,“ab≤4”是“a+b≤4”的必要不充分条件. 5.[2025深圳实验学校高一月考]小港、小海两人相约两次到同一水果店购买葡萄,小港每次购买50元葡萄,小海每次购买3千克葡萄,若这两次葡萄的价格不同,则( ) A.小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 B.小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 C.小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D.两人两次购买葡萄的平均价格无法比较 5.B 设两次葡萄的价格分别为a元/千克和b元/千克,且a≠b,小海两次均购买3千克葡萄,则平均价格为=(元/千克),小港两次均购买50元葡萄,则平均价格为=(元/千克).因为-==>0,所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低. 6.[2025马鞍山二中高一检测]已知不等式2x+m+>0(x>-1)恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.m<-2 B.m>-4 C.m>-2 D.m<-4 6.C 不等式2x+m+>(x>-1)恒成立,即m>-(2x+)恒成立,-(2x+)=-[2(x+1)+-2]≤-(2-2)=-2,当且仅当2(x+1)=,即x=0时等号成立,故m>-2. 7.[2025福州三中高一月考]设正数a,b满足2a+b=1,则+的最小值为( ) A.2-2 B.-+ C.2+2 D.-- 7.B 先由a,b为正数和2a+b=1得a,b的范围,再设2-2a=m,2-b=n,得m+n=3,m>0,n>0,代入所求式子,利用基本不等式中“1”的妙用求最小值.∵正数a,b满足2a+b=1,∴b=1-2a>0,且a=>0,则0
0,n>0,∴+=+=+-=(m+n)(+)-=(+)-≥×2-=-+,当且仅当=,即m=3-3,n=6-3时,等号成立,则+的最小值为-+. 8.【数学文化】[2025蚌埠二中高一月考]《九章算术》中有“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步.问:勾中容方几何 ”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图1,用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图2所示的矩形,该矩形长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图3,设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是( ) A.由图1和图2面积相等得d= B.由AE≥AF可得> C.由AD≥AE可得≥ D.由AD≥AF可得a2+b2>2ab 选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.[2024龙岩一中模拟]下列命题正确的是( ) A.若aab>b2 ... ... 