第24章 圆 切线的证明、切线的性质、切线长定理、正多边形与圆期末培优复习讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册

圆：切线的证明、切线的性质、切线长定理、正多边形与圆期末培优复习讲义 考点目录 切线的证明 切线的性质 切线长定理 正多边形与圆 【知识点解析】 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2.切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径． 3.证明切线的基本思路： （1）思路一：若已知切点，则连接切点与圆心的半径，证明与切点相连的半径垂直于直径.（连半径，证垂直） （2）思路一：若不知道切点，则过圆心作切线的垂线，证明该垂线段的长度等于半径.（作垂直，证半径） 4.与角度相关的证明思路： （1）基础图形中的角度计算：三角形内角和为，四边形内角和为，边形内角和为. （2）特殊三角形：等腰三角形两个底角相等、三线合一；直角三角形两个锐角互余；等边三角形三个角均为. ※圆中任意两条半径可构成等腰三角形 （3）圆周角定义及其推论 ①同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半； ②同弧（等弧）所对的圆周角相等； ③直径所对的圆周角为直角； ④圆的内接四边形对角互补. （4）平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补. （5）全等三角形对应角相等 ※证明全等的方法：、、、、 （6）等量代换 ①若，，则； ②若，，则. 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，交于点，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：①如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的直径是； ②如图，连接， 由（）知，， ∴四边形是直角梯形， 又由①可得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 例2．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，已知中，，，经过点和点，与交于点，且的圆心在边上． (1)尺规作图：请依题意，作出并补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若，则的面积为_____． 【答案】(1)见解析 (2)与直线相切，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意作图如下： （2）解：与直线相切， 理由：如图，连接 ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 直线是的切线； （3）解：如图，连接， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 的面积 故答案为：． 例3．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，点在的平分线上，与相切于点． (1)求证：直线与相切； (2)的延长线与交于点．若的半径为．求弦的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，作于点，如图所示： 与相切于点， ， 点在的平分线上，， ， 直线与相切； （2）解：设交于，连接，如图所示： 与相切于点， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 则， 又， ， 则， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得， 即 解得， 则． 例4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点． (1)若，求证：是⊙的切线； (2)若是的中点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接，，连接并延长交于， ， 直线是的垂直平分线， 直线． ， ． 是⊙的半径， 是⊙的切线； （2）解：连接，交于点，连接，， 是的中点， ， ． 在中，，， ， 在中，设，则， 由勾股定理得，， 即，解得，即半径为10． ， ， ， ， ， ． 例5．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，在中，，以为直径的分别与，相交于点，，过点作，垂足为． (1)求 ... ...