3.1.1 椭圆及其标准方程 教学设计 教学目标 根据创设的情景，理解并背熟椭圆的定义。 理解椭圆标准方程的推导过程，在简化中提高数学运算能力。 掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程。 掌握求轨迹问题的基本思路与方法，发展直观想象、数学运算等学科素养。 教学重难点 重点：①理解椭圆的定义及椭圆的标准方程。 ②掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程。 难点：理解椭圆标准方程的推导过程，运用标准方程解决相关问题。 学情分析与教材分析 学情分析： 知识基础：学生已学过运用坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准 方程，用“方程研究曲线，用曲线理解方程”的解析几何基本思想有了初步的认识和实践。 薄弱环节：（建系意识不强）虽然接触过，但如何通过建立合适的坐标 系来简化运算，学生可能缺乏主动性和策略性。（代数运算能力）从椭圆的定义到标准方程的推导过程涉及两次平方，运算复杂，部分学生可能会在繁琐的代数变形中出错或产生畏难情绪。（数形结合能力）将几何条件（到两定点的距离之和为常数）精确转化为代数方程，并理解方程中每个参数的几何意义，对学生来说是一个挑战。 教学启示：教学应从直观演示入手（用图钉和细绳画椭圆），帮助学生建立清晰的几何表象，理解定义的必然性和合理性。在方程的推导环节，应放慢节奏，引导学生共同参与，明确每一步变形的目的，并适时总结化简技巧，突破运算难点。通过对比焦点在不同坐标轴上的椭圆方程，帮助学生掌握判断焦点位置的方法。 教材分析： 《椭圆及其标准方程》安排在《高中数学·选择性必修第一册》第三章第一节。 圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容之一，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是《圆锥曲线的方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。 教材的地位与作用：在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。一方面，它是对必修阶段“直线和圆的方程”的深化和拓展，是解析几何思想方法的又一次典型应用和强化。另一方面，椭圆是三种圆锥曲线中首先系统学习的一种，其研究思想将为后续学习双曲线和抛物线提供基本范式和方法论指导。同时，椭圆在物理学、天文学等领域有广泛应用，是连接数学与现实世界的重要模型。 教材内容与结构：对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。 教材处理建议：对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。 教学过程 创设情境，引入新课 同学们，前面我们采用坐标法研究直线和圆以及它们的位置关系。从今天开始，我们将学习第三章《圆锥曲线的方程》。其实，圆锥曲线最早始于古希腊，当时人们运用一个平面去截圆锥，得到了不同的曲线，接下来我们来看一个视频。 教师：其实，不难发现，通过平面去截圆锥，得到了哪几种曲线呢？ 学生：椭圆、双曲线、抛物线。 教师：接下来，我们一起欣赏以下几幅图片，观察它们有什么共同特征？ 展示生活中的椭圆图片。 教师：善于观察的同学会发现，不难发现，这几幅图片有一个共同的图形，是什么呢？ 学生：椭圆。 设计意图：培养学生用数学的眼光去看世界的意识，激发学生的想象力和思考，让学生对椭圆产生一个初步的感性认识，从而体验生活中的数学美。 新课探究过程 教师：大家先来回顾一下圆的定义是什么？ 学生：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。 教师：取一根定长的细绳，将绳的两端固定在同一个位置，套上铅笔，拉紧绳子，移动 ... ...
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