湖南省雅礼中学2026届高三月考 （四） 数学试题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 下列写法正确的是 A. B. C. ， D. ， 2. 已知，，则下列不等关系正确的是 A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是 A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B. 是向量的必要不充分条件 C. 只有零向量的模等于0 D. 共线的单位向量都相等 4. 等比数列中，，，记为数列的前项积，则的最大值是 A.256 B.512 C.1024 D.2048 5. 如图，二面角的棱上有两点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，若，，，，则二面角的大小为 A. B. C. D. 6. 已知数列满足递推关系，，则 A. B. C. D. 7. 若实数，满足，则的最小值为 A.1 B. C. D.2 8. 已知正四面体内接于球，点是底面三角形的边的中点，过点作球的截面，若存在半径为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 若复数满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是 A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B. （是的共轭复数） C. D. 若，则的最大值为 10. 若随机变量，则 A. 的正态曲线与轴只有一个交点 B. 的正态曲线关于直线对称 C. D. 若，则， 11. 已知函数，，则 A. 若存在两个零点，，则 B. 若仅有一解，则 C. 用表示不大于的最大整数。若，则 D. 若方程无解，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 随机抽查并统计了某班的四名同学一周内背诵文言文的篇目数量，并得到一组数据，，，，则该组数据的方差为。 13. 若，且，则。 14. 已知点为双曲线的右焦点，点，分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为。 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取4件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立。 （1） 求4件产品中恰有2件不合格品的概率，并记为； （2） 求的最大值点。 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知为锐角，且。 （1） 求； （2） 若，求的取值范围。 17. 如图1所示的正方形中，，，，对角线分别交，于点，，将正方形沿，折叠使得与重合，构成如图2所示的三棱柱。 （1） 若点在棱上，且，证明：平面； （2） 求平面与平面所成夹角的余弦值。 18. 已知椭圆 右焦点为，点在椭圆上，且轴，过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点，为椭圆的上顶点，点是椭圆上异于点的一动点. （1） 求椭圆的方程； （2） 若三角形的面积为 ，求直线的方程； （3） 设过点的直线与椭圆的另一个交点为，与曲线 的另一个交点为，若直线斜率为 ，试证明：直线过定点. 19. 设函数 ，， （1） 求实数的值； （2） 证明：在区间 上有唯一零点； （3） 在（ ... ...
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