高2023级高三第二次教学质量诊断性模拟考试 数学试题 注意事项： 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．考生必须保持答题卡的整洁。 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．下列命题为真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．记为等差数列的前n项和.若则 A． B． C． D． 5．已知，且满足，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 6．已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是 A． B． C． D． 7．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有 A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 8．已知的定义域为，且，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若z是非零复数，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，则 A．乙组同学恰好命中2次的概率为 B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率 C．甲组同学命中次数的方差为 D．乙组同学命中次数的数学期望为 11．在三棱锥中，平面平面，，则 A．三棱锥的体积为1 B．点到直线AD的距离为 C．二面角的正切值为2 D．三棱锥外接球的球心到平面的距离为 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算： ． 13．函数（）的最大值是 ． 14．过双曲线：右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为A，直线与另一条渐近线交于点B．且点A，B位于x轴的异侧，O为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某市统计了2025年4月的空气质量指数（AQI），将其分为，，，的4组，画出频率分布直方图如图所示. 若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. (1)求； (2)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； (3)若2025年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．（15分） 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求 二面角的正弦值． 17．（15分） 如图，在中，，，，点D在边BC的延长线上. (1)求的面积； (2)若，，求CE的长. 18．（17分） 已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段与长度的大小，并说明理由； (3)若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值． 19．（17分） 设函数，曲线在点 ... ...
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