第一章 1.4 线段的垂直平分线 初中数学北师大版（2024）八年级下册 第1课时 线段垂直平分线的 性质与判定 1.经历利用逻辑推理验证线段的垂直平分线的性质及判定的过程，理解逻辑证明的重要性.(重点) 2.掌握线段垂直平分线的性质及判定，并能灵活应用进行推理证明.(重点、难点) 学习目标 如图所示，有一块三角形田地，AB=AC=10 m，作AB的垂直平分线ED交AC于点D，交AB于点E，量得△BDC的周长为17 m，你能帮测量人员计算BC的长吗？ 情境引入 01 线段的垂直平分线的性质定理 问题1 我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流. 提示 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点. 求证：PA=PB. 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 线段的垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段 的距离相等. 条件：点在线段的垂直平分线上； 结论：这个点到线段两个端点的距离相等. 几何语言：如图，∵MN⊥AB，AO=BO，点P在MN上， ∴PA=PB. 作用：可用来证明两线段相等. 两个端点 知识梳理 例1 如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点F，AC与EF交于点O，连接AF. (1)求证：∠3=∠ABF； 证明 ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2， ∵AD的中垂线交AB于点E，交BC的延长线于点F， ∴AF=DF， ∴∠ADF=∠DAF=∠2+∠3， ∵∠ADF=∠1+∠B， ∴∠3=∠ABF. 例1 如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点F，AC与EF交于点O，连接AF. (2)连接OD，求证：OD∥AB. 证明 ∵EF是AD的中垂线， ∴OA=OD， ∴∠2=∠ODA， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠ODA， ∴OD∥AB. 跟踪训练1 (1)如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE垂直平分AB，下列说法不一定正确的是 A.AE=BE B.∠AED+∠EBC=90° C.∠DAE=∠EBC D.∠BAE=∠CAE √ 解析 ∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE，∠DAE+∠AED=90°， ∴∠DAE=∠ABE， ∴∠ABE+∠AED=90°. ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠AED+∠EBC=90°，∠DAE=∠EBC，故A，B，C正确； 只有AE平分∠BAC时，∠BAE=∠CAE，故D不一定正确. (2)如图，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，D是斜边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，连接CE，已知AC=6，BD=5，求△ACE的周长. 解 ∵D是斜边BC的中点，BD=5， ∴BC=2BD=10， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=????????2?????????2=102?62=8， ∴BE+AE=AB=8， 又∵DE⊥BC，BD=DC， ∴DE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE， ∴CE+AE=8， ∴△ACE的周长为CE+AE+AC=8+6=14. ? 线段的垂直平分线的判定 2 问题2———线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是真命题吗？请证明自己结论的正确性. 提示 是真命题.已知：如图，线段AB外一点P，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：如图，过点P作PO⊥AB于点O， 则∠POA=∠POB=90°， 在Rt△POA和Rt△POB中，????????=????????,????????=????????, ∴Rt△POA≌Rt△POB(HL)，∴AO=BO， ∵PO⊥AB，AO=BO， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. ? 线段的垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的垂直平分线上. 条件：这个点到线段两个端点的距离相等； 结论：这个点在线段的垂直平分线上. 几何语言：如图，∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 作用：①作线段的垂直平分线的依据； ②可用来证线段垂直、相等. 相等 知识梳理 例2 (课本P29例1)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明 ∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一 ... ...
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