7.4 三角函数应用 教案

第7章 三角函数 7.4 三角函数应用 ▍教学目标 会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题． 通过三角函数刻画周期性变化现象的实例，体会三角函数在表达和解决实际问题中的作用． 通过建立三角函数模型解决实际问题，培养学生数学建模的核心素养．借助实际问题求解，提升学生数学运算的核心素养． 数学抽象：实际问题抽象为三角函数模型问题． 数据分析：通过观察、分析已知数据，建立三角函数模型． 数学建模：在具体问题情境中，利用三角函数的周期性解决实际问题． 数学运算：实际问题求解． ▍情境设置 【问题1】 在大自然和我们的日常生活中存在着许多周期性的现象:潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换等． 数学源于生活，你能举出其他周期性现象的例子吗？ 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ [学生活动] 匀速圆周运动、简谐运动、人的情绪、体力、智力等心理、生理状况． 三角函数模型． ▍概念的探究与建构 【问题2】 如图点为做简谐运动的物体运动的平衡位置，取向右的方向为物体运动位移的正方向，已知其振幅为cm，周期为s，当物体向右运动到达点处开始计时，求物体相对平衡位置的位移（cm）与运动时间（s）之间的函数关系，并求物体在s时的位置． 请回忆一下简谐运动的位移与时间的函数关系，可用哪一类函数来描述？ 针对这个问题，你所选择的具体的函数形式是什么？ 根据问题提供的条件，请你求出相应的、、之值． [学生活动] 三角函数． ． 学生在纸上运算． 【问题3】 当物体向右运动到达最大位移处开始计时，求物体相对平衡位置的位移（cm）与运动时间（s）之间的函数关系，并求物体在s时的位置． 形成知识 函数，，中参数的物理意义： 【思考】 如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是（　　） 该质点的振动周期为 该质点的振幅为 该质点在和时的振动速度最大 该质点在和时的加速度为零 [学生活动] 由图象及简谐运动的有关知识知，，当及时，，故排除选项A，B，C． 形成知识 当或时，应先用诱导公式将的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相．如函数的初相不是． ▍知识的运用与升华 题型一：三角函数模型在物理中的应用 【例题1】 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是． 画出它的图象； 回答以下问题： ①小球开始摆动（即），离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ [解析] 周期（s）． 列表： 描点画图： ①小球开始摆动（即），离开平衡位置为cm． ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是cm． ③小球来回摆动一次需要s（即周期）． 方法归纳 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径． 题型二：三角函数在实际生活中的应用 【问题4】 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤是什么？ [教师引导] 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． [教师引导] 三角函数模型的建立程序如图所示： 【例题2】 如图一个水轮的半径为，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现（图中 ... ...