(课件网) 北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 1.5.2 三角形三个内角的平分线 第一章 三角形的证明及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 复习回顾 角平分线的性质 角平分线的判定 图形 已知 条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E O A B P D E O A B P D E 进行新课 例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。 （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD。 E D A B C ∵AC = BC，∴∠B = ∠BAC（等边对等角）。 ∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°。 ∴∠BDE=90°– 45°= 45°。 ∴BE = DE（等角对等边）。 在等腰直角三角形 BDE 中， cm（勾股定理）。 ∴AC = BC = CD + BD = cm. （1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE = CD = 4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)。 例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。 （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； E D A B C 例2 如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E。 （2）求证：AB = AC + CD。 E D A B C （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）。 ∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）。 ∵BE = DE = CD， ∴AB = AE + BE = AC + CD。 C 返回 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于三角形内的一点。 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 发现：交点到三条边的距离相等。 你能证明这个结论吗？ 2．(8分)如图所示，D，E在∠BAC两边上且AD＝AE，AG是△BAC内部的一条射线且AG⊥DE于点F。 (1)求证：AG平分∠BAC； 证明：∵AD＝AE，AG⊥DE， 即AF⊥DE，∴AF平分∠DAE，即AG平分∠BAC。 (2)分别作∠BDE和∠CED的平分线，相交于点P，求证：P在∠BAC的平分线AG上。 解：过点P作PQ⊥DE于点Q，PH⊥AB于点H，PM⊥AC于点M，如图，∵DP平分∠BDE，EP平分∠CED， ∴PQ＝PH，PQ＝PM，∴PH＝PM， ∴点P在∠HAM的平分线上， ∵AG平分∠BAC，∴点P在∠BAC的平分线AG上。 返回 例3 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P。 求证：∠A的平分线经过点P。 A B C P M N 证明：如图，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F。 ∵BM是△ABC的角平分线， ∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。 同理，PE=PF。 ∴PD=PE=PF。 ∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）， 即 ∠A的平分线经过点P。 A B C P M N E F D 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 3．到三角形三条边距离相等的点是三角形____的交点。横线上应填( ) A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线 C．三条中线 D．三条高线 A 返回 4．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是( ) A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1＝2∠2 B 返回 5．[咸阳期中]如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠BOC＝110°，则∠A的度数为( ) A．35° B．40° C．50 ... ...
