3.3.1 抛物线及其标准方程 一．选择题 1.若动点P到定点F(1,1)的距离与它到直线l:3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 2.若抛物线y2=2px的焦点为(3,0),则下列点中,在抛物线y2=2px上的是( ) A.(1,2) B.(3,-6) C.(2,-2) D.(1,) 3.已知抛物线过原点,焦点在y轴上,其上一点P(m,1)到焦点的距离为5,则抛物线的标准方程是( ) A.y2=16x B.x2=16y C.x2=8y D.x2=-8y 4.(多选题)已知点A(-2,4)在抛物线y2=-2px(p>0)上,抛物线的焦点为F,延长AF与抛物线相交于点B,则下列结论正确的是( ) A.抛物线的准线方程为x=2 B.抛物线的焦点坐标为(-2,0) C.点B坐标为(-2,-2) D.△OAB的面积为8 5.已知F为抛物线y2=12x的焦点,M为抛物线上一点,由M向抛物线的准线作垂线,垂足为N,若|NF|=10,则|MF|=( ) A. B. C. D. 6.若点P(x,y)到点F(0,-5)的距离比它到直线y=4的距离大1,则点P的轨迹方程为( ) A.x2=16y B.x2=-16y C.x2=20y D.x2=-20y 7.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,点A(2,2),则|PA|+|PF|的最小值是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.设抛物线y=x2的焦点为F,点P在抛物线上,则“|PF|=3”是“点P到x轴的距离为2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知F是抛物线y=2x2的焦点,M,N是该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|=,则线段MN中点的纵坐标为( ) A. B.2 C. D.3 10.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是准线l上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q,若|PF|=|PQ|,则|QF|=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.(多选题)(2025·高考综合改革适应性演练,9)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是抛物线C上的点,O为原点,则( ) A.p=4 B.|MF|≥|OF| C.以M为圆心且过F的圆与抛物线C的准线相切 D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 12.已知P为抛物线y2=4x上的动点,且点P到抛物线的准线的距离为d,Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上一个动点,则d+|PQ|的最小值为( ) A.5 B.4 C.2+1 D.+1 二．填空题 13.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C:-y2=1的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,则实数p的值为 ,抛物线的准线方程为 . 14.已知F为抛物线y2=-8x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值是 . 15.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三个不同的点,若=0,则||+||+||= . 三．解答题 16.一座抛物线形拱桥如图所示,设水面宽|AB|=18 m,拱顶距离水面8 m,一条货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|=9 m,那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥 17.如图,A地在B地东偏北45°方向,相距2 km处,B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到点B的距离等于到高铁线l的距离,现在要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计),分别向A,B两地送电. (1)试建立适当的坐标系,求出曲线形公路PQ所在曲线的方程; (2)变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线长度最短 并求出最短长度. 3.3.1 抛物线及其标准方程 一．选择题 1.D 因为点F在直线l上,所以动点P的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线. 2.B 由于抛物线y2=2px的焦点为(3,0),则抛物线方程为y2=12x,故点(3,-6)在该抛物线上. 3.B 由题意,知抛物线开口向上,所以可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),于是1+=5,解得p=8,故抛物线的标准方程是x2=16y. 4.ABD 将点A(-2,4)的坐标代入抛物线方程可得p=4,因此抛物线方程为y2=-8x,于是准线方程为x=2,焦点坐标为(-2,0),故A,B项正确;又易知AF⊥x轴,所以B(-2,-4),故C项错误;又因为|AB|=8,所以S△OAB=×8×2=8.故D项正确. 5.B 记准 ... ...
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