课程基本信息 专题 三角形中的对称求角 学习目标 掌握轴对称在三角形中的基本性质（等边、等角、垂直平分）。 学会用含参数的代数式表示几何关系中的未知角。 能够迁移模型，解决“对称+旋转”、“对称+等腰”等变式问题。 提升“补全图形—标注条件—推理结论—表达关系”的完整解题能力。 学习任务 如图，△ABC为等边三角形，点D在AC上． 备用图 问题一：如果，那么是多少度？你能用含有的式子表示哪些角？ 问题二：作点C关于直线的对称点E，射线交直线于点F，连接．补全图形，由对称性质你能找到哪些相等的边或角？ 问题三：如何用表示∠ABE、∠EAD、∠EFB等角？ 变例. 如图，在等边△ABC外作射线，使得和在直线的两侧，．点关于直线的对称点为，连接，．求的度数. 如图，在△ABC中，AB=AC，，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点E，作直线BE交射线AD于点F，连接CF.补全图形，求∠AFB的大小(用含的代数式表示）. 变例. 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，点D在边BC上，作点C关于直线AD的对称点E，连接BE并延长，交射线AD于点F，连接CF，依题意补全图形。 直接写出∠AFB的度数； 猜想AF、BF、CF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想。 已知，在△ABC中，∠BAC＝30°，点D在BC上，连接AD，∠CAD＝，点D关于直线AC的对称点为E，点E关于直线AB的对称点为F，直线EF分别交直线AC，AB于点M，N，连接AF，AE，CE． 根据题意补全图形； ∠AEF ＝ （用含有的代数式表示），∠AMF＝ °； 用等式表示线段MA、ME、MF的数量关系. 课堂小测 姓名： 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ） A． B． C． D． 如图，△ABC是等边三角形，是△ABC的中线，点D关于直线的对称点为E．连接，交于点F，交于点G，连接，． 有下面四个结论： ①点A在线段的垂直平分线上； ②△ADE是等边三角形； ③； ④点P是线段上的一个动点，的最小值等于． 其中所有正确结论的序号是 ． 专题：三角形中的对称求角答案 例1 问题一 ∵ △ABC 为等边三角形 ∴ ∠CAB = ∠ABC = ∠BCA = 60° 若 ∠BAD = α（0°<α<180°），则： ∠CAD = ∠CAB ∠BAD = 60° α（若 α<60°） ∠CAD = α 60°（若 α>60°） ∠ADB = 180° ∠BAD ∠ABD = 180° α 60° = 120° α ∠BDC = 180° ∠ADB = 180° (120° α) = 60° + α 问题二 补全图形（略），对称点 E 满足： CE 被 AD 垂直平分 ∠CAE = ∠CAD，AE = AC ∠AEC = ∠ACE 由对称性质可得： AE = AC = AB（等边三角形边相等） ∠EAD = ∠CAD 问题三 ∠ABE = ∠ABC + ∠CBE，需结合对称与等边关系推导 ∠EAD = ∠CAD = 60° α（或 α 60°） ∠EFB 需结合交线与对称角推导 变例（P 关于 AD 的对称点为 P'） 对称性 AP = AP'，∠PAD = ∠P'AD 结合等边△ABC 与点位置关系，可推得 ∠BPC = 120° α（具体需画图验证） 例2 原题（AB=AC，∠BAC=β） 对称点 E AD 垂直平分 CE，AE = AC = AB 等腰△ABE 中，∠ABE = ∠AEB 结合对称角关系可推得： ∠AFB = 90° 变例（∠BAC=90°，AB=AC） (1) ∠AFB = 45° (2) 猜想：AF + BF = CF 证明思路：利用对称得等腰△AEC，结合∠BAC=90°推直角关系，用勾股定理证明。 例3 条件：∠BAC=30°，∠CAD=α，D 关于 AC 对称得 E，E 关于 AB 对称得 F (1) 补全图形（略） (2) ∠AEF = 60° α ∠AMF = 150° 2α (3) 线段关系：MA + ME = MF 课堂小测答案 1. 推断错误的选项：需结合图形判断，常见错误为“对称 全等”误推“对应边中点到对称轴等距”。（具体需看选项内容） 2. 正确结论序号：①、②、③、④（全对） 理由： ① 由对称得 ... ...
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