北师大版选择性必修一第三章空间向量与立体几何 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，则与共线的一个单位向量( ) A. B. C. D. 2.已知向量，，则( ) A. B. C. D. 3.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是 A. B. C. D. 4.已知点，，，，若平面，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 5.已知是 所在的平面外一点，，，有下列结论：是平面的一个法向量其中，正确的是( ) A. B. C. D. 6.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是( ) A. B. C. D. 7.如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8.如图，在四面体中，是的重心，是上一点，且，连接并延长交于点，若，则，，的值分别为( ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.给出下列命题，其中正确的有( ) A. 空间任意三个向量都可以作为一个基底 B. 已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. ，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面 D. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 10.正三棱柱中，，则 A. 与底面所成的角的正弦值为 B. 与底面所成的角的正弦值为 C. 与侧面所成的角的正弦值为 D. 与侧面所成的角的正弦值为 11.如图，在四面体中，下列说法正确的是( ) A. 若，则可知 B. 若为的重心，则 C. 若，，则 D. 若四面体的各棱长都为，，分别为，的中点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线的方向向量为，直线上有两点，，则两直线的位置关系是 ． 13.如图所示，已知平行六面体中，，，．为的中点，则长度为_____． 14.已知如图，、、互相垂直，且长度相等，为中点，则直线与平面所成角的正弦值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，，分别是空间四边形的边，的中点试判断向量与向量，是否共面． 16.本小题分 如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值． 17.本小题分 已知向量，，点，． 求 在直线上，是否存在一点，使得为原点若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，平面与底面所成的角的大小为，底面为直角梯形，问： 在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 19.本小题分 如图，在正方体中，为的中点． 证明：平面； 求直线到平面的距离； 求平面与平面夹角的余弦值． 答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.垂直 13. 14. 15. 【解】根据图形可以得到 ， 由已知得， ． 所以得， 即． 故向量与向量，共面． 16.证明：连接并延长交于，由题意，令为空间向量的一组基底， 则 ． 联结，点，，，共面，故存在实数， 满足， 即， 因此， 由空间向量基本定理知，， 故，为定值． 17.【解】， 故． 令， 所以 ， 若，则， 所以，解得． 因此存在点，使得， 此时点的坐标为． 18. 【解】由题意可得两两垂直，且中，即为与底面所成的角，则． 以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则． 存在．理由：设，则，． 因为平面，所以且，所以，所以． 即为棱的中点时，平面． 存在．理由：设，则． 因为，所以 因为是平面的一个法向量，，平面，所以． 所以． 所以，代入式得， ... ...
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