专题3 全等三角形中常用的几何模型（5个知识点 5大题型） 讲义 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

专题3 全等三角形中常用的几何模型（5个知识点+5大题型） 一、知识梳理 1、一线三等角模型 过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS） 常见的4种图形： 2、倍长中线 题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 3、手拉手模型 ①等边三角形手拉手 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得（SAS）。 ②等腰直角三角形手拉手 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[ ①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 4、半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 5、截长补短 二、题型突破 题型1 一线三等角模型 例1.在中，，，直线经过点 ，且 于 ，于 . （1）当直线绕点旋转到图1的位置时， ①求证： ≌ ； ②求证： ； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 【变式1】在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α． （1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 　 　． （2）如图2，当0＜α＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与CB的延长线交于点F，若BC＝4BF，△ABC的面积是16，求△FBD与△ACE的面积之和． 题型2 倍长中线 例2.如图，是的中线，，，求中线的取值范围． 【变式2-1】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE． 根据_____可以判定 _____，得出_____． 这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是 _____． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”———把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝_____． 【变式2-2】倍长中线的思想在于倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：． 如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长． （3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ． 题型3 手拉手模型 例3.如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P． （1）求证：BE＝AD． （2）求∠APB的度数． 【变式3-1】边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG如图1摆放，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α， ... ...