北师版-数学-八年级下册 第一章 三角形的证明及其应用 5 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 情境导入 我们曾经探索过角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 请你尝试证明这一结论. 1．_____叫作角的平分线． 2．我们曾用折纸的方法探索过角平分线上点的性质(如图)．从折纸的过程中，可以得到：_____ _____． O B A C P E D 1 2 从角的顶点出发，把角分成两个相等的角的射线 角的平分线上的点到角两 边的距离相等 探究新知 探究1 【探究角平分线的性质定理】 1．证明角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE. O B A C P E D 1 2 O B A C P E D 1 2 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2，OP＝OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)， ∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)． 符号语言表示为： ∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE. 应用角平分线的性质定理必须具备的条件：两垂直，一平分． O B A C P E D 1 2 归纳总结 归纳总结 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 符号语言： ∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD＝PE. O B A C P E D 注意：该定理中，“点到这个角的两边的距离”是指该点到角两边的垂线段的长度. 你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上． 这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． 探究新知 探究2 【探究角平分线的判定定理】 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，它的逆命题是 _____． 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 请证明角平分线的判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 1．已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上． O A B 1 2 P D E 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， O A B 1 2 P D E ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP＝OP，PD＝PE， ∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)， ∴∠1＝∠2， 即点P在∠AOB的平分线上． 角平分线和线段垂直平分线的比较： 相同点：都有定理和逆定理，都有“距离相等”，证明方法都利用了三角形全等. 不同点：角平分线是在角的内部，到角的两边距离相等的点的集合，是点到线(射线)的距离相等； 线段垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合，是点到点的距离相等. 用符号语言表示为： ∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴点P在∠AOB的平分线上． 角平分线的判定定理的特征是：两垂直，一相等． O A B 1 2 P D E 归纳总结 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 应用举例 1.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为 ( ) A．10 B．7 C．5 D．4 C 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.求证：BD＝FD. 证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线， ∴∠C＝∠DEB＝90°，DE＝DC. 在△DEB和△DCF中， ∴△DEB≌△DCF(SAS)， ∴BD＝FD. 3.如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F.若PE＝PF，且∠AOC＝50°，则∠EOP的度数为 ( ) A．65° B．60° C．45° D．30° A 4.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°. 在△BDF和△CDE中， ∴△BDF≌△CDE(AAS)， ∴DF＝DE. 又∵DF⊥AB，DE⊥AC， ... ...
