(课件网) 北师版-数学-八年级下册 第一章 三角形的证明及其应用 5 角平分线 第2课时 三角形的三条角平分线 情境导入 问题 角平分线的性质定理及判定定理是什么？ 性质定理： 判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 填一填： (1)角平分线上的点到这个角的两边的距离_____； (2)在一个角的内部到角的两边距离_____的点在这个角的_____； (3)三角形三边的垂直平分线相交于_____点，并且这一点到三个顶点的距离_____． 相等 相等 平分线上 一 相等 思考：三角形的三个内角平分线的特点？ 三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等． 探究新知 探究1 【三角形三条内角平分线性质】 如图，分别折出三个角的平分线，然后观察三条角平分线有什么特点． 发现：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F. 求证：∠A的平分线经过点P， 且PD＝PE＝PF. 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． A B C P E F M D N 证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E， A B C P E F M D N ∴PD＝PE. 同理，PE＝PF， ∴PD＝PE＝PF. ∴点P在∠A的平分线上，即∠A的平分线经过点P. 探究2 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理．请填表： 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于_____ 交于_____ 钝角三角形 交于_____ 直角三角形 交于_____ 交点性质 到三角形的_____的距离相等 到三角形的_____的距离相等 三角形内一点 三角形外一点 斜边上的中点 三个顶点 三角形内一点 三边 应用举例 A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5 【方法指导】利用三角形角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形的高相等，底边长分别是20，30，40，利用等高不同底的三角形的面积之比等于底边之比得出答案． 例1 如图，△ABC的边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( ) B C A O C A C B E D 例2 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD＝4 cm，求AC的长； (2)求证：AB＝AC＋CD. 【方法指导】(1)求AC的长，因为AC＝BC， BC＝CD＋DB，也就是求CD＋DB的和，根据角平分线的性质定理可知，CD＝DE＝4 cm，可证Rt△DEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求得BD的长度；(2)AB＝AE＋EB，因为AE与AC相等，DE与EB相等，可证得AB＝AC＋CD. (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝4 cm. ∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC. ∵∠C＝90°，∴∠B＝×90°＝45°， ∴∠BDE＝90°－45°＝45°， ∴BE＝DE＝4 cm. 在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理，得BD＝4cm， ∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋4)cm. A C B E D A C B E D (2)证明：易证△ACD≌△AED(AAS)， ∴AC＝AE，CD＝ED. 易得BE＝DE＝CD， ∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD. 随堂练习 1．到三角形三边距离相等的点是 ( ) A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．不能确定 C 2．如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作 法的合理顺序是 ( ) ①作射线OC；②在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内部，两弧交于点C. A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① C A D O E B C 3. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ... ...
