(课件网) 北师版-数学-八年级下册 第一章 三角形的证明及其应用 4 线段的垂直平分线 第2课时 三角形三边的垂直平分线 情境导入 如图，看这些漂亮的折纸，是多么精致的手工啊，大家羡慕吧！今天我们也来上一节折纸课，秀一秀我们的巧手．下列图形具有哪些共同的特征呢？ 置疑导入 问题1：线段垂直平分线的性质定理和判定定理内容是什么？ 问题2：你能作出三角形三条边的垂直平分线吗？这三条垂直平分线有什么特点？画一画，议一议． 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 探究新知 ◆活动1 (1)尺规作图作三角形三条边的垂直平分线． 三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等． 思考 (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗 能，这样的三角形能画出无数个，因为高的位置可以不同，所以它们不都全等. (2) 已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗 能作几个 因为等腰三角形底边上的高的位置是固定的，所在直线只能垂直平分底边，所以能用尺规作出满足条件的等腰三角形，且这样的三角形只有一个. 探究新知 作法 图形 已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. △ABC就是所要作的等腰三角形． a h a l A B C h D 1．作线段BC，使BC ＝a． 2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D． 3．在l上作线段DA，使DA＝h． 4．连接AB，AC． 思考： A B M l P 如果点P在直线l外呢 此时，还能运用这种转化的方法吗 还记得用尺规过直线l上一点P作的垂线的方法吗 这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题. 作法 图形 已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P. A B m l P Q 1. 任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁. 2. 以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧， 交直线l于点A和点B. 3. 作线段 AB的垂直平分线m. 直线m就是所要作的直线. 为什么直线m经过点P 因为点P到直线上点A，B的距离相等， 所以点P一定在线段 AB的垂直平分线m上. 例1 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E. 求证：边AC的垂直平分线经过点P. 分析：要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件 已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论 B A C P E D 证明：如图，连接PA，PB，PC. B A C P E D ∵ 点P在边AB的垂直平分线上， ∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等). 同理，PB=PC. ∴ PA=PB=PC. ∴ 点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线经过点P. 跟踪训练 1.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B＝_____． 2.如图，O是△ABC的三边垂直平分线的交点，如果∠A＝65°，那么∠OBC＝____． 30° 25° 根据线段垂直平分线的性质得到相等的线段，结合等边对等角或全等的证明方法，解决其他相关的综合问题． 探究新知 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE.线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由． E C B A D F 解：DE＝BF，DE⊥BF. G 理由如下：连接BD，延长BF交DE于点G. ∵点D在线段AB的垂直平分线上， ∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°. 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°， E C B A D F G ∴∠ABC＝67.5°， ∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°， ∴△BCD为等腰直角三角形， ∴BC＝D ... ...
